Phương pháp giải:

- Tính \(y'\), tìm các nghiệm thuộc đoạn \(\left[ {0;2} \right]\).

- Tính giá trị hàm số tại các điểm đó và hai đầu mút \(x = 0,x = 2\).

- So sánh các giá trị đó và kết luận.

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(y' =  - 4{x^3} + 6x = 0 \Leftrightarrow  - x\left( {4{x^2} - 6} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0 \in \left[ {0;2} \right]\\x = \frac{{\sqrt 6 }}{2} \in \left[ {0;2} \right]\\x =  - \frac{{\sqrt 6 }}{2} \notin \left[ {0;2} \right]\end{array} \right.\).

Tính \(y\left( 0 \right) = 1,y\left( 2 \right) =  - 3,y\left( {\frac{{\sqrt 6 }}{2}} \right) = \frac{{13}}{4}\).

Vậy giá trị lớn nhất của hàm số đạt được trong \(\left[ {0;2} \right]\) là \(\frac{{13}}{4}\).

Chọn D.