Phương pháp giải:

Gọi a’ là hình chiếu vuông góc của a trên mặt phẳng (P).

Góc giữa đường thẳng a và mặt phẳng (P) là góc giữa đường thẳng a và a’.

Lời giải chi tiết:

\(\Delta AOD\) vuông tại O

\( \Rightarrow OA = \sqrt {A{D^2} - O{D^2}}  = \sqrt {{a^2} - {{\left( {\dfrac{{\sqrt 3 a}}{2}} \right)}^2}}  = \dfrac{a}{2} \Rightarrow AH = \dfrac{1}{2}AO = \dfrac{a}{4}\); \(AC = 2.AO = a\) và \({S_{ABCD}} = \dfrac{1}{2}.AC.BD = \dfrac{1}{2}.a.a\sqrt 3  = \dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{2}\).

Do \(AA'//CC'\) nên \(\angle \left( {AA';\left( {ABCD} \right)} \right) = \angle \left( {CC';\left( {ABCD} \right)} \right) = {60^0}\)

Do \(A'H \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow \angle \left( {AA';\left( {ABCD} \right)} \right) = \angle \left( {AA';AH} \right) = \angle A'AH = {60^0}\)

\(\Delta AA'H\) vuông tại H \( \Rightarrow A'H = AH.\tan \widehat {A'AH} = \dfrac{a}{4}.\tan {60^0} = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{4}\)

Thể tích khối hộp là: \(V = {S_{ABCD}}.A'H = \dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{2}.\dfrac{{a\sqrt 3 }}{4} = \dfrac{{3{a^3}}}{8}\).

Chọn: A