1. Khái niệm đường thẳng song song với mặt phẳng
Đường thẳng được gọi là song song với mặt phẳng nếu chúng không có điểm chung.
2. Điều kiện và tính chất của đường thẳng song song với mặt phẳng
Định lí 1 (dấu hiệu nhận biết một đường thẳng song song với một mặt phẳng): Nếu đường thẳng a không nằm trong mặt phẳng (P) và a song song với đường thẳng a’ nằm trong (P) thì a song song với (P).
Định lí 2 (tính chất của đường thẳng song song với mặt phẳng): Cho đường thẳng a song song với mặt phẳng (P). Nếu mặt phẳng (Q) chứa a và cắt (P) theo giao tuyến b thì b song song với a.
Hệ quả của Định lí 2: Nếu hai mặt phẳng phân biệt cùng song song với một đường thẳng thì giao tuyến của chúng (nếu có) cũng song song với đường thẳng đó.
Chú ý: Cho hai đường thẳng chéo nhau. Khi đó, có duy nhất một mặt phẳng chứa đường thẳng này và song song với đường thẳng kia.
3. Cách chứng minh đường thẳng song song với mặt phẳng
Sử dụng định lí: Nếu đường thẳng a không nằm trong mặt phẳng (P) và a song song với đường thẳng a’ nằm trong (P) thì a song song với (P).
Ví dụ minh hoạ:
1) Cho tứ diện ABCD. Gọi M vàN lần lượt là trọng tâm của các tam giác ACD và BCD. Chứng minh rằng MN song song với các mặt phẳng (ABC) và (ABD).
Giải:
Gọi P, Q lần lượt là trung điểm của BC và CD.
Khi đó, ta có: \(\frac{{QM}}{{MA}} = \frac{{QN}}{{NB}} = \frac{1}{3} \Rightarrow MN\parallel AB\).
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{MN \not\subset (ABC)}\\\begin{array}{l}AB \subset (ABC)\\MN\parallel AB\end{array}\end{array}} \right. \Rightarrow MN\parallel (ABC)\).
Tương tự, ta có:
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{MN \not\subset (ABD)}\\{AB \subset (ABD)}\\{MN\parallel AB}\end{array}} \right. \Rightarrow MN\parallel (ABD)\).
2) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và CD.
a) Chứng minh MN song song với các mặt phẳng (SBC) và (SAD).
b) Gọi E là trung điểm của SA. Chứng minh SB và SC đều song song với mặt phẳng (MNE).
Giải:
a) Từ giả thiết, ta suy ra MN // BC và MN // AD.
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{MN \not\subset (SBC)}\\\begin{array}{l}BC \subset (SBC)\\MN\parallel BC\end{array}\end{array}} \right. \Rightarrow MN\parallel (SBC)\).
Tương tự, ta có:
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{MN \not\subset (SAD)}\\{AD \subset (SAD)}\\{MN\parallel AD}\end{array}} \right. \Rightarrow MN\parallel (SAD)\).
b) Từ giả thiết, ta có \(\frac{{AE}}{{AS}} = \frac{{AM}}{{AB}} = \frac{1}{2} \Rightarrow ME\parallel SB\).
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{SB \not\subset (MNE)}\\\begin{array}{l}ME \subset (MNE)\\ME\parallel SB\end{array}\end{array}} \right. \Rightarrow SB\parallel (MNE)\).
Tương tự, gọi O là tâm của hình bình hành.
Khi đó \(\frac{{AO}}{{AC}} = \frac{{AE}}{{AS}} = \frac{1}{2} \Rightarrow EO\parallel SC\).
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{SC \not\subset (MNE)}\\\begin{array}{l}EO \subset (MNE)\\EO\parallel SC\end{array}\end{array}} \right. \Rightarrow SC\parallel (MNE)\).
