1. Phương pháp tìm giao tuyến
Tìm một điểm chung của hai mặt phẳng, tìm trong hai mặt phẳng lần lượt có hai đường thẳng song song với nhau. Giao tuyến cần tìm đi qua điểm chung và song song với hai đường thẳng song song vừa tìm.
2. Ví dụ minh hoạ về tìm giao tuyến
1) Cho hình chóp S.ACBD có đáy ABCD là hình thang có AD là đáy lớn. Gọi M là trung điểm của CD, \(\left( \alpha \right)\) là mặt phẳng qua M và song song với SA, BC.
a) Hãy xác định thiết diện của hình chóp S.ABCD với mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\).
b) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) và (SAC). Chứng minh giao tuyến vừa tìm được song song với mặt phẳng (SAD).
Giải:
a) Xác định thiết diện của hình chóp S.ABCD với mặt phẳng \((\alpha )\).
M là điểm chung của hai mặt phẳng và (ABCD), có \((\alpha )\parallel BC\) nên giao tuyến của chúng qua M và song song với BC, giao tuyến này cắt AB tại E.
E là điểm chung của hai mặt phẳng \((\alpha )\) và (SAB), có \((\alpha )\parallel SA\) nên giao tuyến của chúng qua E và song song với SA, giao tuyến này cắt SB tại F.
F là điểm chung của hai mặt phẳng \((\alpha )\) và (SBC), có \((\alpha )\parallel BC\) nên giao tuyến của chúng qua F và song song với BC, giao tuyến này cắt SC tại G.
Kết luận mặt phẳng \((\alpha )\) cắt hình chóp S.ABCD theo một thiết diện là hình thang MEFG, vì có ME và FG cùng song song với BC.
b) Gọi H là giao điểm của ME và AC, ta có H và G là hai điểm chung của hai mặt phẳng \((\alpha )\) và mặt phẳng (SAC). Vậy \((\alpha ) \cap (SAC) = HG\). Vì \((\alpha )\parallel SA\) nên giao tuyến \(HG\parallel SA\), mà SA thuộc mặt phẳng (SAD) nên giao tuyến \(HG\parallel (SAD)\).
2) Cho tứ diện ABCD. Lấy điểm M là một điểm thuộc miền trong của tam giác BCD. Gọi \((\alpha )\) là mặt phẳng qua M và song song với AC và BD. Hãy xác định thiết diện của mặt phẳng \((\alpha )\) với tứ diện ABCD. Thiết diện là hình gì?
Giải:
M là điểm chung của hai mặt phẳng \((\alpha )\) và (BCD), có \((\alpha )\parallel BD\) nên giao tuyến của chúng qua M và song song với BD, giao tuyến này cắt BC tại E và cắt CD tại F.
E là điểm chung của hai mặt phẳng \((\alpha )\) và (ABC), có \((\alpha )\parallel AC\) nên giao tuyến của chúng qua E và song song với AC, giao tuyến này cắt AB tại H.
H là điểm chung của hai mặt phẳng \((\alpha )\) và (ABD), có \((\alpha )\parallel BD\) nên giao tuyến của chúng qua H và song song với BD, giao tuyến này cắt AD tại G. G và F là hai điểm chung của hai mặt phẳng \((\alpha )\) và mặt phẳng (ACD).
Vậy giao tuyến của chúng là FG.
Vì mặt phẳng \((\alpha )\parallel AC\), nên giao tuyến \(FG\parallel AC\).
Vậy thiết diện cần tìm là hình bình hành EFGH, vì có \(EF\parallel HG\parallel BD\) và \(HE\parallel FG\parallel AC\).
3) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Lấy một điểm M di động trên cạnh SC. Gọi \((\alpha )\) là mặt phẳng chứa AM và song song với BD.
a) Chứng minh rằng mặt phẳng \((\alpha )\) luôn đi qua một đường thẳng cố định khi M thay đổi.
b) Mặt phẳng \((\alpha )\) cắt SB và SD tại E và F. Hãy nêu cách dựng E và F.
c) Gọi I là giao điểm của ME và CB, J là giao điểm của MF và CD. Chứng minh ba điểm I, J, A thẳng hàng.
Giải:
a) A là một điểm chung của hai mặt phẳng \((\alpha )\) và (ABCD), có \((\alpha )\parallel BD\), nên giao tuyến của chúng qua A và song song với BD.
Vậy \((\alpha ) \cap (ABCD) = Ax\) \(\left( {Ax\parallel BD} \right)\).
Vì Ax là đường thẳng cố định khi M thay đổi.
Kết luận: mp\((\alpha )\) luôn đi qua đường cố định Ax.
b) Gọi \(O = AC \cap BD\).
Ta có: SO là giao tuyến của hai mặt phẳng (SAC) và (SBD).
Gọi \(G = AM \cap SO\) (AM, SO \( \subset \) (SAC)).
Ta có: G là điểm chung của mặt phẳng \((\alpha )\) và mặt phẳng (SBD), có \((\alpha )\parallel BD\) nên giao tuyến của chúng qua G và song song với BD, giao tuyến này cắt SB và SD lần lượt tại E và F.
c) I và F là hai điểm chung của mặt phẳng \((\alpha )\) và mặt phẳng đáy (ABCD), nên I và F phải thuộc giao tuyến Ax của hai mặt phẳng.
Vậy ba điểm I, J, A thẳng hàng.
4) Cho hình bình hành ABCD và điểm S không nằm trong mặt phẳng chứa ABCD.
a) Tìm giao tuyến của các cặp mặt phẳng sau (SAC) và (SBD), (SAB) và (SCD).
b) Một mặt phẳng \((\alpha )\) qua BC, cắt SA tại M và cắt SD tại N. Chứng minh \(MN\parallel BC\).
c) Chứng tỏ giao điểm của BN và CM luôn luôn ở trên một đường thẳng cố định khi M di động trên SA.
d) Gọi G là trọng tâm tam giác SAB, K là điểm trên cạnh AC sao cho \(\frac{{AK}}{{AC}} = \frac{1}{3}\). Chứng minh GK song song với mặt phẳng (SCD).
Giải:
a) Ta có \(S \in (SAC) \cap (SBD)\) (1).
Gọi \(O = AC \cap BD \Rightarrow O \in (SAC) \cap (SBD)\) (2).
Từ (1) và (2) suy ra: \((SAC) \cap (SBD) = SO\).
Ta có:
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{S \in (SAB) \cap (SCD)}\\{AB\parallel CD}\\{AB \subset (SAB),CD \subset (SCD)}\end{array}} \right. \Rightarrow (SAB) \cap (SCD) = Sx\parallel AB\parallel CD\).
b) Ta có:
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{(\alpha ) \cap (SAD) = MN}\\{BC\parallel AD}\\{BC \subset (\alpha ),AD \subset (SAD)}\end{array}} \right. \Rightarrow MN\parallel AD\parallel BC\).
c) Gọi \(I = BN \cap CM\) (với \(BN,CM \subset (\alpha )\)).
Ta có:
\(\left\{ \begin{array}{l}I \in BN \subset (SBD)\\I \in CM \subset (SAC)\end{array} \right. \Rightarrow I \in (SAC) \cap (SBD)\).
Vậy I thuộc giao tuyến SO cố định của hai mặt phẳng (SAC) và (SBD).
d) Gọi E và F lần lượt là trung điểm của SA và AD.
Vì \(\frac{{AK}}{{AC}} = \frac{1}{3}\) nên K là trọng tâm tam giác ABD.
Theo tính chất trọng tâm:
\(\frac{{BG}}{{BE}} = \frac{{BK}}{{BF}} = \frac{2}{3} \Rightarrow GK\parallel EF\). Ngoài ra \(GK \not\subset \left( {SCD} \right)\) nên \(GK\parallel EF\) (3)
Mà EF là đường trung bình của \(\Delta ADS \Rightarrow EF\parallel SD\) (4)
Từ (3) và (4) có \(GK\parallel SD \subset (SCD) \Rightarrow GK\parallel (SCD)\).
