Các công thức đạo hàm - Toán 11

Bảng đạo hàm của một số hàm số sơ cấp cơ bản và hàm hợp:

Giả sử \(f = f(x)\), \(g = g(x)\) là các hàm số có đạo hàm tại điểm \(x\) thuộc khoảng xác định. Ta có:

\((f + g)' = f' + g'\);

\((fg)' = f'g + fg'\);

\((f - g)' = f' - g'\);

\(\left( {\frac{f}{g}} \right)' = \frac{{f'g - fg'}}{{{g^2}}}\) \((g = g(x) \ne 0)\).

1) Cho hàm số \(f(x) = {x^{10}}\).

a) Tính đạo hàm của hàm số trên tại điểm \(x\) bất kì.

b) Tính đạo hàm của hàm số trên tại điểm \({x_0} = 1\).

Giải:

a) Ta có: \(f'(x) = ({x^{10}})' = 10{x^9}.\)

b) Đạo hàm của hàm số tại điểm \({x_0} = 1\) là: \(f'(1) = 10\), \({1^9} = 10\).

2) Tính đạo hàm của hàm số \(f(x) = \sqrt x \) tại điểm \({x_0} = 4\).

Giải:

Ta có: \(f'(x) = \frac{1}{{2\sqrt x }}\) với x > 0.

Vậy đạo hàm của hàm số trên tại điểm \({x_0} = 4\) là:

\(f'(4) = \frac{1}{{2\sqrt 4 }} = \frac{1}{4}\).

3) Tính đạo hàm của hàm số \(f(x) = \sin x\) tại điểm \({x_0} = \frac{\pi }{3}\).

Giải:

Ta có: \(f'(x) = \cos x\).

Đạo hàm của hàm số trên tại điểm \({x_0} = \frac{\pi }{3}\) là: \(f'\left( {\frac{\pi }{3}} \right) = \cos \frac{\pi }{3} = \frac{1}{2}\).

4) Tính đạo hàm của hàm số \(f(x) = \cos x\) tại điểm \({x_0} = \frac{\pi }{6}\).

Giải:

Ta có: \(f'(x) =  - \sin x\).

Đạo hàm của hàm số trên tại điểm \({x_0} = \frac{\pi }{6}\) là: \(f'\left( {\frac{\pi }{6}} \right) =  - \sin \frac{\pi }{6} =  - \frac{1}{2}.\)

5) Tính đạo hàm của hàm số \(f(x) = \tan x\) tại điểm \({x_0} = \frac{\pi }{4}\).

Giải:

Ta có: \(f'(x) = \frac{1}{{{{\cos }^2}x}}\quad (x \ne \frac{\pi }{2} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}).\)

Đạo hàm của hàm số trên tại điểm \({x_0} = \frac{\pi }{4}\) là: \(f'\left( {\frac{\pi }{4}} \right) = \frac{1}{{{{\cos }^2}\left( {\frac{\pi }{4}} \right)}} = 2\).

6) Tính đạo hàm của hàm số \(f(x) = \cot x\) tại điểm \({x_0} = \frac{\pi }{2}\).

Giải:

Ta có: \(f'(x) =  - \frac{1}{{{{\sin }^2}x}}\) \((x \ne k\pi ,k \in \mathbb{Z})\).

Đạo hàm của hàm số trên tại điểm \({x_0} = \frac{\pi }{2}\) là \(f'\left( {\frac{\pi }{2}} \right) =  - \frac{1}{{{{\sin }^2}\left( {\frac{\pi }{2}} \right)}} =  - 1\).

7) Tính đạo hàm của hàm số \(f(x) = {2^x}\) tại điểm \({x_0} = 1\).

Giải:

Ta có: \(f'(x) = {2^x}\ln 2\).

Đạo hàm của hàm số trên tại điểm \({x_0} = 1\) là: \(f'(1) = {2^1}\ln 2 = 2\ln 2\).

8) Tính đạo hàm của hàm số \(f(x) = \ln x\) tại điểm \({x_0} = 1\).

Giải:

Ta có: \(f'(x) = \frac{1}{x}\quad (x > 0).\)

Đạo hàm của hàm số trên tại điểm \({x_0} = 1\) là: \(f'(1) = \frac{1}{1} = 1\).

9) Tính đạo hàm của mỗi hàm số sau:

a) \(f(x) = {x^3} + x\);

b) \(g(x) = {x^4} - {x^2}\).

Giải:

a) \(f'(x) = ({x^3})' + (x)' = 3{x^2} + 1\).

b) \(g'(x) = ({x^4})' - ({x^2})' = 4{x^3} - 2x\).

10) Tính đạo hàm của hàm số: \(y = \frac{{2x + 1}}{{x - 1}}\).

Giải

Ta có: \(\left( {\frac{{2x + 1}}{{x - 1}}} \right)' = \frac{{(2x + 1)'(x - 1) - (2x + 1)(x - 1)}}{{{{(x - 1)}^2}}} = \frac{{2(x - 1) - (2x + 1)}}{{{{(x - 1)}^2}}} = \frac{{ - 3}}{{{{(x - 1)}^2}}}\).

11) Tìm đạo hàm của mỗi hàm số sau:

a) \(y = {(3 - 2x)^4}\);

b) \(y = \cos (4x + 5)\).

Giải:

a) Đặt \(u = 3 - 2x\), ta có: \(y = {u^4}\). Khi đó: \({y_u}' = 4{u^3}\); \({u_x}' =  - 2\).

Theo công thức tính đạo hàm của hàm hợp, ta có:

\({y_{x'}} = {y_u}' \cdot {u_x}' = 4{u^3} \cdot ( - 2) =  - 8{u^3} =  - 8{(3 - 2x)^3}.\)

b) Đặt \(u = 4x + 5\), ta có \(y = \cos u\). Khi đó: \({y_u}' =  - \sin u\); \({u_x}' = 4\).

Theo công thức tính đạo hàm của hàm hợp, ta có:

\({y_x}' = {y_u}' \cdot {u_x}' = ( - \sin u) \cdot 4 =  - 4\sin u =  - 4\sin (4x + 5)\).