Đề bài

Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y = \dfrac{{x + 3}}{{x - 1}}$, biết tiếp tuyến đó tạo với hai trục tọa độ một tam giác vuông cân.

A.
$y = - x + 6,\,\,y = - x - 2$
B.
$y = - x - 6,\,\,y = - x - 2$
C.
$y = x + 1,\,\,y = x + 6$
D.
$y = x - 1,\,\,y = x - 6$

Phương pháp giải

- Gọi $M\left( {{x_0};{y_0}} \right)$ là điểm thuộc đồ thị hàm số, viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại $M$ là: $y = f'\left( {{x_0}} \right)\left( {x - {x_0}} \right) + {y_0}\,\,\,\left( d \right)$.

- Xác định tọa độ các điểm $A = Ox \cap d,\,\,B = Oy \cap d$.

- Giải phương trình $OA = OB$ tìm ${x_0}$, từ đó suy ra các phương trình tiếp tuyến thỏa mãn.

Lời giải của GV Loigiaihay.com

TXĐ: $D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 1 \right\}$. Ta có $y' = \dfrac{{ - 4}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}$.

Gọi $M\left( {{x_0};{y_0}} \right)$ là điểm thuộc đồ thị hàm số, phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại $M$ là:

$y = \dfrac{{ - 4}}{{{{\left( {{x_0} - 1} \right)}^2}}}\left( {x - {x_0}} \right) + \dfrac{{{x_0} + 3}}{{{x_0} - 1}}\,\,\,\left( d \right)$

Gọi $A = d \cap Ox$.

Cho $y = 0$

$\begin{array}{l} \Rightarrow 0 = \dfrac{{ - 4}}{{{{\left( {{x_0} - 1} \right)}^2}}}\left( {x - {x_0}} \right) + \dfrac{{{x_0} + 3}}{{{x_0} - 1}}\\ \Leftrightarrow 0 = - 4\left( {x - {x_0}} \right) + \left( {{x_0} + 3} \right)\left( {{x_0} - 1} \right)\\ \Leftrightarrow 0 = - 4x + 4{x_0} + x_0^2 + 2{x_0} - 3\\ \Leftrightarrow x = \dfrac{{x_0^2 + 6{x_0} - 3}}{4}\end{array}$

$ \Rightarrow A\left( {\dfrac{{x_0^2 + 6{x_0} - 3}}{4};0} \right)$ $ \Rightarrow OA = \dfrac{{\left| {x_0^2 + 6{x_0} - 3} \right|}}{4}$.

Gọi $B = d \cap Oy$.

Cho $x = 0$.

$\begin{array}{l} \Rightarrow y = \dfrac{{4{x_0}}}{{{{\left( {{x_0} - 1} \right)}^2}}} + \dfrac{{{x_0} + 3}}{{{x_0} - 1}} = \dfrac{{4{x_0} + \left( {{x_0} + 3} \right)\left( {{x_0} - 1} \right)}}{{{{\left( {{x_0} - 1} \right)}^2}}}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \dfrac{{4{x_0} + x_0^2 + 2{x_0} - 3}}{{{{\left( {{x_0} - 1} \right)}^2}}} = \dfrac{{x_0^2 + 6{x_0} - 3}}{{{{\left( {{x_0} - 1} \right)}^2}}}\end{array}$

$ \Rightarrow B\left( {0;\dfrac{{x_0^2 + 6{x_0} - 3}}{{{{\left( {{x_0} - 1} \right)}^2}}}} \right) \Rightarrow OB = \dfrac{{\left| {x_0^2 + 6{x_0} - 3} \right|}}{{{{\left( {{x_0} - 1} \right)}^2}}}$.

Vì tam giác $OAB$ vuông cân tại $O$ nên $OA = OB$.

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow \dfrac{{\left| {x_0^2 + 6{x_0} - 3} \right|}}{4} = \dfrac{{\left| {x_0^2 + 6{x_0} - 3} \right|}}{{{{\left( {{x_0} - 1} \right)}^2}}}\\ \Leftrightarrow \left| {x_0^2 + 6{x_0} - 3} \right|\left( {\dfrac{1}{4} - \dfrac{1}{{{{\left( {{x_0} - 1} \right)}^2}}}} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \dfrac{1}{4} - \dfrac{1}{{{{\left( {{x_0} - 1} \right)}^2}}} = 0\end{array}$

(Do $A \ne B$ nên $x_0^2 + 6{x_0} - 3 \ne 0$)

$ \Leftrightarrow {\left( {{x_0} - 1} \right)^2} = 4 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x_0} - 1 = 2\\{x_0} - 1 = - 2\end{array} \right.$ $ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x_0} = 3\\{x_0} = - 1\end{array} \right.\,\,\left( {tm} \right)$.

Với ${x_0} = 3$ $ \Rightarrow $ Phương trình tiếp tuyến: $y = - 1\left( {x - 3} \right) + 3 \Leftrightarrow y = - x + 6$.

Với ${x_0} = - 1$ $ \Rightarrow $ Phương trình tiếp tuyến: $y = - 1\left( {x + 1} \right) - 1 \Leftrightarrow y = - x - 2$.

Đáp án : A

Báo lỗi/Góp ý

Các bài tập cùng chuyên đề

Bài 1 :

Hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y = \dfrac{{{x^4}}}{4} + \dfrac{{{x^2}}}{2} - 1$ tại điểm có hoành độ $x = - 1$ là:

Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số \(y = \dfrac{{x + 3}}{{x - 1}}\), biết tiếp tuyến đó tạo với hai trục tọa độ một tam giác vuông cân.