Có bao nhiêu tiếp tuyến với đồ thị $\left( C \right):y = {x^4} - 2{x^2}$ đi qua gốc tọa độ $O$?
-
A.
$0$
-
B.
$1$
-
C.
$2$
-
D.
$3$
- Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm $M$ bất kỳ thuộc $\left( C \right)$:
Phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số $\left( C \right):y = f\left( x \right)$ tại điểm $M\left( {{x_0},{y_0}} \right) \in \left( C \right)$ là: $y = f'\left( {{x_0}} \right)\left( {x - {x_0}} \right) + {y_0}$
- Tiếp tuyến đi qua điểm $O$ nếu tọa độ của $O$ thỏa mãn phương trình tiếp tuyến.
- Số nghiệm ${x_0}$ của phương trình chính là số điểm $M$ cần tìm.
Giả sử $\left( {{x_0};{y_0}} \right)$ là điểm thuộc đồ thị hàm số $\left( C \right)$ có tiếp tuyến đi qua gốc tọa độ $O$
Ta có: $y' = 4{{\text{x}}^3} - 4{\text{x}}$
Ta có phương trình đường thẳng tiếp tuyến tại điểm $\left( {{x_0};{y_0}} \right)$
$y = \left( {4{\text{x}}_0^3 - 4{{\text{x}}_0}} \right)\left( {x - {x_0}} \right) + {y_0}$$ \Leftrightarrow y = \left( {4{\text{x}}_0^3 - 4{{\text{x}}_0}} \right)\left( {x - {x_0}} \right) + {x_0}^4 - 2x_0^2$
Thay $\left( {0;0} \right)$ vào phương trình trên ta được:
\(\begin{array}{l}0 = \left( {4{\rm{x}}_0^3 - 4{{\rm{x}}_0}} \right)\left( {0 - {x_0}} \right) + {x_0}^4 - 2x_0^2\\ \Leftrightarrow - 3x_0^4 + 2x_0^2 = 0 \Leftrightarrow x_0^2\left( { - 3x_0^2 + 2} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x_0} = 0\\{x_0} = \pm \sqrt {\dfrac{2}{3}} \end{array} \right.\end{array}\)
Vậy có ba điểm có tiếp tuyến đi qua gốc tọa độ.
Đáp án : D
Các bài tập cùng chuyên đề
Hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y = \dfrac{{{x^4}}}{4} + \dfrac{{{x^2}}}{2} - 1$ tại điểm có hoành độ $x = - 1$ là:
Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y = - 2{x^3} + 4x + 2$ tại điểm có hoành độ bằng $0.$
Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y = - {x^4} + 6{x^2} - 5$ tại điểm cực tiểu của nó.
Tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y = \dfrac{{{x^3}}}{3} - 2{x^2} + x + 2$ song song với đường thẳng $y = - 2x + 5$ có phương trình là:
Giả sử tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y = 2{x^3} - 6{x^2} + 18x + 1$ song song với đường thẳng $d:12x - y = 0$ có dạng $y = ax + b$. Khi đó tổng $a + b$ là:
Đồ thị hàm số nào sau đây có tiếp tuyến tại giao điểm của đồ thị và trục tung có hệ số góc âm?
Cho hàm số $y = {x^3} - 3{x^2} + 5x - 2$ có đồ thị $(C)$. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị $(C)$ có hệ số góc nhỏ nhất.
Cho hàm số: $y={{x}^{3}}-{{x}^{2}}+1$ . Tìm điểm nằm trên đồ thị hàm số sao cho tiếp tuyến tại điểm đó có hệ số góc nhỏ nhất.
Cho hàm số $y = {x^4} - 2(m + 1){x^2} + m + 2$ có đồ thị $\left( C \right)$. Gọi $\Delta $ là tiếp tuyến với đồ thị $\left( C \right)$ tại điểm thuộc $\left( C \right)$ có hoành độ bằng $1$. Với giá trị nào của tham số $m$ thì $\Delta $ vuông góc với đường thẳng $d:y = - \dfrac{1}{4}x - 2016$
Cho hàm số $y = \dfrac{{2x - 1}}{{x - 1}}\,\,\,\left( C \right)$. Tìm điểm $M$ thuộc $(C)$ sao cho tiếp tuyến tại $M$ và hai trục tọa độ tạo thành tam giác cân.
Cho hàm số $y = f\left( x \right) = \dfrac{{{x^3}}}{3} - m{x^2} - 6mx - 9m + 12$ có đồ thị hàm số $\left( {{C_m}} \right)$. Khi tham số m thay đổi, các đồ thị $\left( {{C_m}} \right)$ đều tiếp xúc với một đường thẳng cố định. Đường thẳng này có phương trình:
Cho hàm số $y = f(x) = {x^3} + 6{x^2} + 9x + 3{\text{ }}\left( C \right)$.Tồn tại hai tiếp tuyến của $(C)$ phân biệt và có cùng hệ số góc $k$, đồng thời đường thẳng đi qua các tiếp điểm của hai tiếp tuyến đó cắt các trục $Ox, Oy$ tương ứng tại $A$ và $B$ sao cho $OA = 2017.OB.$ Hỏi có bao nhiêu giá trị của $k$ thỏa mãn yêu cầu bài toán?
Tìm tất cả các giá trị của tham số $m$ để đường thẳng $y = - 2x + m$ cắt đồ thị $(H)$ của hàm số $y = \dfrac{{2x + 3}}{{x + 2}}$ tại hai điểm$A,{\text{ }}B$ phân biệt sao cho $P = k_1^{2018} + k_2^{2018}$ đạt giá trị nhỏ nhất (với ${k_1},{k_2}$ là hệ số góc của tiếp tuyến tại $A,{\text{ }}B$ của đồ thị $(H)$.
Biết đồ thị các hàm số $y = {x^3} + \dfrac{5}{4}x - 2$ và $y = {x^2} + x - 2$ tiếp xúc nhau tại điểm $M({x_0}\,;\,{y_0})$. Tìm ${x_0}.$
Cho hàm số $\left( {{C_m}} \right):y = {x^3} + m{x^2} - 9x - 9m.$ Tìm $m$ để $\left( {{C_m}} \right)$ tiếp xúc với $Ox$:
Cho hàm số $y = {x^3} - 3{x^2} + 2x - 5$ có đồ thị $\left( C \right)$. Có bao nhiêu cặp điểm thuộc đồ thị $\left( C \right)$ mà tiếp tuyến với đồ thị tại chúng là hai đường thẳng song song?
Cho hàm số $y = {x^3} + ax + b\,\,\left( {a \ne b} \right)$. Tiếp tuyến với đồ thị hàm số $f\left( x \right)$ tại $x = a$ và $x = b$ song song với nhau. Tính $f\left( 1 \right).$
Cho các hàm số $y = f (x), y = g (x), y = \dfrac{{f\left( x \right) + 3}}{{g\left( x \right) + 1}}$ . Hệ số góc của các tiếp tuyến của đồ thị các hàm số đã cho tại điểm có hoành độ $x = 1$ bằng nhau và khác $0$. Khẳng định nào dưới đây là khẳng định đúng?
Gọi \(S\) là tập hợp các giá trị nguyên của \(m\) để mọi tiếp tuyến của đồ thị hàm số \(y = {x^3} - \left( {m - 1} \right){x^2} + \left( {m - 1} \right)x + 5\) đều có hệ số góc dương. Số phần tử của tập \(S\) là:
Cho hàm số \(y = \dfrac{{2x - 2}}{{x - 2}}\) có đồ thị là\(\left( C \right)\), \(M\)là điểm thuộc \(\left( C \right)\) sao cho tiếp tuyến của \(\left( C \right)\) tại \(M\)cắt hai đường tiệm cận của \(\left( C \right)\) tại hai điểm \(A\), \(B\) thỏa mãn \(AB = 2\sqrt 5 \). Gọi \(S\) là tổng các hoành độ của tất cả các điểm \(M\)thỏa mãn bài toán. Tìm giá trị của \(S\).
