Đề bài

Cho hàm số $y = \dfrac{{2x - 2}}{{x - 2}}$ có đồ thị là$\left( C \right)$, $M$là điểm thuộc $\left( C \right)$ sao cho tiếp tuyến của $\left( C \right)$ tại $M$cắt hai đường tiệm cận của $\left( C \right)$ tại hai điểm $A$, $B$ thỏa mãn $AB = 2\sqrt 5 $. Gọi $S$ là tổng các hoành độ của tất cả các điểm $M$thỏa mãn bài toán. Tìm giá trị của $S$.

A.
$6$
B.
$5$
C.
$8$
D.
$7$

Phương pháp giải

- Tìm 2 đường tiệm cận của đồ thị hàm số.

- Gọi $M\left( {m;\,\dfrac{{2m - 2}}{{m - 2}}} \right)$ thuộc đồ thị hàm số. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại $M$.

- Tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y = f\left( x \right)$ tại điểm có hoành độ $x = {x_0}$ là $y = f'\left( {{x_0}} \right)\left( {x - {x_0}} \right) + f\left( {{x_0}} \right)$.

- Tìm giao điểm $A,\,\,B$ của tiếp tuyến với 2 đường tiệm cận.

- Tính độ dài đoạn thẳng $AB:$ $AB = \sqrt {{{\left( {{x_B} - {x_A}} \right)}^2} + {{\left( {{y_B} - {y_A}} \right)}^2}} $.

- Giải phương trình tìm $m$, từ đó tính $S$.

Lời giải của GV Loigiaihay.com

TXĐ: $D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 2 \right\}$. Đồ thị hàm số có hai đường tiệm cận là $x = 2$ và $y = 2$.

Ta có $y' = \dfrac{{ - 2}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}}$. Gọi $M\left( {m;\,\dfrac{{2m - 2}}{{m - 2}}} \right)$ thuộc đồ thị hàm số.

Phương trình tiếp tuyến $d$ của $\left( C \right)$ tại $M$: $y = \dfrac{{ - 2}}{{{{\left( {m - 2} \right)}^2}}}\left( {x - m} \right) + \dfrac{{2m - 2}}{{m - 2}}$.

Cho $x = 2 \Rightarrow y = \dfrac{{ - 2}}{{{{\left( {m - 2} \right)}^2}}}\left( {2 - m} \right) + \dfrac{{2m - 2}}{{m - 2}}$$ \Leftrightarrow y = \dfrac{2}{{m - 2}} + \dfrac{{2m - 2}}{{m - 2}} = \dfrac{{2m}}{{m - 2}}$.

$ \Rightarrow $ Giao điểm của $d$ và đường thẳng $x = 2$ là $A\left( {2;\,\dfrac{{2m}}{{m - 2}}} \right)$.

Cho $y = 2 \Rightarrow \dfrac{{ - 2}}{{{{\left( {m - 2} \right)}^2}}}\left( {x - m} \right) + \dfrac{{2m - 2}}{{m - 2}} = 2$.

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow - 2\left( {x - m} \right) + \left( {2m - 2} \right)\left( {m - 2} \right) = 2{\left( {m - 2} \right)^2}\\ \Leftrightarrow - 2x + 2m + 2{m^2} - 6m + 4 = 2{m^2} - 8m + 8\\ \Leftrightarrow 2x = 4m - 4 \Leftrightarrow x = 2m - 2\end{array}$

$ \Rightarrow $ Giao điểm của $d$ và đường thẳng $y = 2$ là $B\left( {2m - 2;\,2} \right)$.

Ta có: $AB = 2\sqrt 5 \Leftrightarrow {\left( {2m - 4} \right)^2} + {\left( {2 - \dfrac{{2m}}{{m - 2}}} \right)^2} = 20$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow 4{\left( {m - 2} \right)^2} + \dfrac{{16}}{{{{\left( {m - 2} \right)}^2}}} = 20\\ \Leftrightarrow {\left( {m - 2} \right)^4} - 5{\left( {m - 2} \right)^2} + 4 = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{\left( {m - 2} \right)^2} = 1\\{\left( {m - 2} \right)^2} = 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 3\\m = 1\\m = 4\\m = 0\end{array} \right.\end{array}$

Vậy $S = 3 + 1 + 4 + 0 = 8$.

Đáp án : C

Báo lỗi/Góp ý

Các bài tập cùng chuyên đề

Bài 1 :

Hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y = \dfrac{{{x^4}}}{4} + \dfrac{{{x^2}}}{2} - 1$ tại điểm có hoành độ $x = - 1$ là: