Trong một buổi học liên môn Toán – Lịch sử, thầy giáo nhắc lại chiến công hiển hách của nghĩa quân Tây Sơn do Quang Trung lãnh đạo trong mùa xuân Kỷ Dậu. Thầy đọc mấy câu thơ mở đầu buổi học:

Xuân Kỷ Dậu trống vang trời,

Tây Sơn thần tốc rạng ngời non sông.

Đồng Đa giặc vỡ từng dòng,

Quang Trung đại thẳng, núi sông yên bình.

Để minh họa cho việc một đại lượng thay đổi theo thời gian trong một mô hình toán học đơn giản, thầy giả sử hàm số y(t) (với t > 0, tính bằng ngày) biểu diễn mức suy giảm sức chống cự của quân địch theo thời gian kể từ khi nghĩa quân Tây Sơn mở cuộc tiến công.

Sau khi phân tích dữ liệu mô phỏng, người ta nhận thấy đại lượng này có dạng y(t) với $y'(t) = \frac{a}{t}$ (a là các hằng số thực).

Biết rằng, mô hình thu được các dữ liệu sau:

Tại thời điểm t = 1 (ngày) và $t = e^2$ (ngày) thì y(1) = 5 và $y(e^2) = 1$.

Các khẳng định sau đúng hay sai?

Tìm:

a) \(\int {\left( {3\sqrt x  + \frac{1}{{\sqrt[3]{x}}}} \right)} dx\);

b) \(\int {\sqrt x \left( {7{x^2} - 3} \right)} dx\left( {x > 0} \right)\);

c) \(\int {\frac{{{{\left( {2x + 1} \right)}^2}}}{{{x^2}}}} dx\);

d) \(\int {\left( {{2^x} + \frac{3}{{{x^2}}}} \right)} dx\).

Tìm họ tất cả các nguyên hàm của các hàm số sau:

a) \(y = {2^x} - \frac{1}{x}\);

b) \(y = x\sqrt x  + 3\cos x - \frac{2}{{{{\sin }^2}x}}\).

Tìm:

a) \(\int {\left( {5\sin x + 6\cos x} \right)dx} \)

b) \(\int {\left( {2 + {{\cot }^2}x} \right)dx} \)

c) \(\int {{2^{3x}}dx} \)

d) \(\int {\left( {{{2.3}^{2x}} - {e^{x + 1}}} \right)dx} \)

Cho hàm số \(f(x) = 2x + {e^x}\). Nguyên hàm F(x) của hàm số f(x) trên \(\mathbb{R}\) sao cho F(0) = 2023 là:

A. \({x^2} + {e^x} + 2023\)

B. \({x^2} + {e^x} + C\)

C. \({x^2} + {e^x} + 2022\)

D. \({x^2} + {e^x}\)

a) Cho hàm số \(f(x) = {x^2} + {e^{ - x}}\). Tìm nguyên hàm F(x) của hàm số f(x) trên \(\mathbb{R}\) sao cho F(0) = 2023

b) Cho hàm số \(g(x) = \frac{1}{x}\). Tìm nguyên hàm G(x) của hàm số g(x) trên khoảng \((0; + \infty )\) sao cho G(1) = 2023

Tính đạo hàm của hàm số \(F\left( x \right) = x{e^x}\), suy ra nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = \left( {x + 1} \right){e^x}\).

Tìm

a) \(\int {{x^5}dx} \)

b) \(\int {\frac{1}{{\sqrt[3]{{{x^2}}}}}dx} \) \(\left( {x > 0} \right)\)

c) \(\int {{7^x}dx} \)

d) \(\int {\frac{{{3^x}}}{{{5^x}}}dx} \)

Tìm

a) \(\int {\left( {2{x^5} + 3} \right)dx} \)

b) \(\int {\left( {5\cos x - 3\sin x} \right)dx} \)

c) \(\int {\left( {\frac{{\sqrt x }}{2} - \frac{2}{x}} \right)dx} \)

d) \(\int {\left( {{e^{x - 2}} - \frac{2}{{{{\sin }^2}x}}} \right)dx} \)

Tìm

a) \(\int {x{{\left( {2x - 3} \right)}^2}dx} \)

b) \(\int {{{\sin }^2}\frac{x}{2}dx} \)

c) \(\int {{{\tan }^2}xdx} \)

d) \(\int {{2^{3x}}{{.3}^x}} dx\)

Kí hiệu \(h\left( x \right)\) là chiều cao của một cây (tính theo mét) sau khi trồng \(x\) năm. Biết rằng sau năm đầu tiên cây cao 2 m. Trong 10 năm tiếp theo, cây phát triểun với tốc độ \(h'\left( x \right) = \frac{1}{x}\) (m/năm).

a) Xác định chiều cao của cây sau \(x\) năm \(\left( {1 \le x \le 11} \right)\).

b) Sau bao nhiêu năm cây cao 3 m?

Một chiếc xe đang chuyển động với tốc độ \({v_0} = 10{\rm{ }}\left( {{\rm{m/s}}} \right)\) thì tăng tốc với gia tốc không đổi \(a = 2{\rm{ }}\left( {{\rm{m/}}{{\rm{s}}^2}} \right)\). Tính quãng đường xe đó đi được trong 3 giây kể từ khi bắt đầu tăng tốc.

Khẳng định nào sau đây đúng?
A. \(\int {{{\left( {x - \frac{1}{x}} \right)}^2}dx} = \frac{{{x^3}}}{3} - 2x - \frac{1}{x} + C\)
B. \(\int {{{\left( {x - \frac{1}{x}} \right)}^2}dx = \frac{{{x^3}}}{3} - 2x + \frac{1}{x} + C} \)
C. \(\int {{{\left( {x - \frac{1}{x}} \right)}^2}dx} = \frac{1}{3}{\left( {x - \frac{1}{x}} \right)^3} + C\)
D. \(\int {{{\left( {x - \frac{1}{x}} \right)}^2}dx} = \frac{1}{3}{\left( {x - \frac{1}{x}} \right)^3}\left( {1 + \frac{1}{{{x^2}}}} \right) + C\)

Tìm:

a) \(\int {\left[ {4{{\left( {2 - 3x} \right)}^2} - 3\cos x} \right]dx} \)

b) \(\int {\left( {3{x^3} - \frac{1}{{2{x^3}}}} \right)dx} \)

c) \(\int {\left( {\frac{2}{{{{\sin }^2}x}} - \frac{1}{{3{{\cos }^2}x}}} \right)dx} \)

d) \(\int {\left( {{3^2}x - 2 + 4\cos x} \right)dx} \)

e) \(\int {\left( {4\sqrt[5]{{{x^4}}} + \frac{3}{{\sqrt {{x^3}} }}} \right)dx} \)

g) \(\int {{{\left( {\sin \frac{x}{2} - \cos \frac{x}{2}} \right)}^2}dx} \)

Tính đạo hàm của \(F\left( x \right) = \ln \left( {x + \sqrt {{x^2} + 1} } \right)\). Từ đó suy ra nguyên hàm của \(f\left( x \right) = \frac{1}{{\sqrt {{x^2} + 1} }}\).

Cho \(f\left( x \right) = {x^2}\ln x\) và \(g\left( x \right) = x\ln x\). Tính \(f'\left( x \right)\) và \(\int {g\left( x \right)dx} \).

Tìm:

a) \(\int {\left( {2\cos x + \frac{3}{{\sqrt x }}} \right)} dx\);                            b) \(\int {\left( {3\sqrt x  - 4\sin x} \right)} {\rm{ }}dx\).

Tìm:

a) \(\int {\left( {x + {{\sin }^2}\frac{x}{2}} \right)} dx\);

b) \(\int {{{\left( {2\tan x + \cot x} \right)}^2}} {\rm{ }}dx\).

Một viên đạn được bắn thẳng đứng lên trên từ mặt đất với vận tốc tại thời điểm t (t = 0 là thời điểm viên đạn được bắn lên) cho bởi v(t) = 150 - 9,8t (m/s).

Tìm độ cao của viên đạn (tính từ mặt đất):

a) Sau t = 3 giây.

b) Khi nó đạt độ cao lớn nhất (làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ nhất của mét).

Cho \(F\left( u \right)\) là một nguyên hàm của hàm số \(f\left( u \right)\) trên khoảng \(K\) và \(u\left( x \right),{\rm{ x}} \in {\rm{J}}\), là hàm số có đạo hàm liên tục, \(u\left( x \right) \in K\) với mọi \({\rm{x}} \in {\rm{J}}\). Tìm \(\int {f\left( {u\left( x \right)} \right)}  \cdot u'\left( x \right)dx\).

Áp dụng: Tìm \(\int {{{\left( {2x + 1} \right)}^5}dx} \) và \(\int {\frac{1}{{\sqrt {2x + 1} }}dx} \).

Tìm:

a) \(\int {\frac{{2x - 1}}{{x + 1}}} dx\);

b) \(\int {\left( {3 + 2{{\sin }^2}x} \right)} {\rm{ }}dx\).

Tìm họ tất cả các nguyên hàm của các hàm số sau:

a) \(y = {\sin ^2}\frac{x}{2}\);

b) \(y = {e^{2x}} - 2{x^5} + 5\).

a) \(\int\limits_0^3 {\left| {3 - x} \right|dx} \);

b) \(\int\limits_0^2 {\left( {{e^x} - 4{x^3}} \right)dx} \)

c) \(\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\left( {\sin x + \cos x} \right)dx} \).

Hàm số \(y = \log x\) là nguyên hàm của hàm số:

A. \(y = \frac{1}{x}\).

B. \(y = \frac{1}{{x\ln 10}}\).

C. \(y = \frac{{\ln 10}}{x}\).

D. \(y = \frac{1}{{x\log 10}}\).

Trong mỗi ý a), b), c), d, chọn phương án: đúng (Đ) hoặc sai (S).

Cho hàm số \(f\left( x \right) = 4{x^3} - 3{{\rm{x}}^2}\).

a) \(\int {f\left( x \right)dx}  = \int {4{x^3}dx}  - \int {3{{\rm{x}}^2}dx} \).

b) \(f'\left( x \right) = 12{{\rm{x}}^2} - 6{\rm{x}}\).

c) \(f'\left( x \right) = {x^4} - {x^3}\).

d) \(\int {f\left( x \right)dx}  = {x^4} + {x^3} + C\).

Trong mỗi ý a), b), c), d, chọn phương án: đúng (Đ) hoặc sai (S).

Cho hàm số \(f\left( x \right) = \sin x + \cos x\).

a) \(\int {f\left( x \right)dx}  = \int {\sin xdx}  + \int {\cos xdx} \).

b) \(f'\left( x \right) = \cos x - \sin x\).

c) \(f'\left( x \right) + f\left( x \right) = \cos x\).

d) \(\int {f\left( x \right)dx}  =  - \cos x + \sin x + C\). 

Trong mỗi ý a), b), c), d, chọn phương án: đúng (Đ) hoặc sai (S).

Cho hàm số \(f\left( x \right) = \left( {x + 2} \right)\left( {x + 1} \right)\).

a) \(f\left( x \right) = {x^2} + 3{\rm{x}} + 2\).

b) \(f'\left( x \right) = 2{\rm{x}} + 3\).

c) \(\int {f\left( x \right)dx}  = \int {\left( {x + 2} \right)dx} .\int {\left( {x + 1} \right)dx} \).

d) \(\int {f\left( x \right)dx}  = \frac{1}{3}{x^3} + \frac{3}{2}{x^2} + 2{\rm{x}} + C\).

Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:

a) \(f\left( x \right) = 2\sin x\);

b) \(f\left( x \right) = \cos x + {x^3}\);

c) \(f\left( x \right) = \frac{{ - {x^4}}}{2} - 3\cos x\).

Tìm:

a) \(\int {{2^x}\ln 2dx} \);

b) \(\int {2x\cos \left( {{x^2}} \right)dx} \);

c) \(\int {{{\cos }^2}\left( {\frac{x}{2}} \right)dx} \).

Tìm \(\int {\frac{{{x^2} + 7{\rm{x}} + 12}}{{x + 3}}dx} \) trên \(\left( {0; + \infty } \right)\).

Trong mỗi ý a), b), c), d), chọn phương án: đúng (Đ) hoặc sai (S).

Cho hàm số \(f\left( x \right) = \frac{{{x^7} + 8}}{x}\).

a) \(f\left( x \right) = {x^6} + \frac{8}{x}\).

b) \(\int {f\left( x \right)dx}  = \int {{x^6}dx}  - \int {\frac{8}{x}dx} \).

c) \(\int {f\left( x \right)dx}  = \int {{x^6}dx}  + \int {\frac{8}{x}dx} \).

d) \(\int {f\left( x \right)dx}  = \frac{{{x^7}}}{7} + 8\ln \left| x \right|\).