Tìm:
a) ∫2xln2dx;
b) ∫2xcos(x2)dx;
c) ∫cos2(x2)dx.
‒ Sử dụng tính chất của nguyên hàm: Cho hàm số y=f(x),y=g(x) liên tục trên K.
• ∫kf(x)dx=k∫f(x)dx với k là hằng số khác 0.
• ∫[f(x)+g(x)]dx=∫f(x)dx+∫g(x)dx.
• ∫[f(x)−g(x)]dx=∫f(x)dx−∫g(x)dx.
‒ Sử dụng công thức ∫F′(x)dx=F(x)+C với F(x) là hàm số có đạo hàm liên tục.
a)
∫2xln2dx=∫(2x)′dx=2x+C.
b)
∫2xcos(x2)dx=∫[sin(x2)]′dx=sin(x2)+C.
c)
∫cos2(x2)dx=∫1+cosx2dx=∫12dx+12∫cosxdx=12∫1dx+12∫cosxdx=12∫(x)′dx+12∫(sinx)′dx=12x+12sinx+C=x+sinx2+C.
Các bài tập cùng chuyên đề
Tìm:
a) ∫(3√x+13√x)dx;
b) ∫√x(7x2−3)dx(x>0);
c) ∫(2x+1)2x2dx;
d) ∫(2x+3x2)dx.
Tìm họ tất cả các nguyên hàm của các hàm số sau:
a) y=2x−1x;
b) y=x√x+3cosx−2sin2x.
Tìm:
a) ∫(5sinx+6cosx)dx
b) ∫(2+cot2x)dx
c) ∫23xdx
d) ∫(2.32x−ex+1)dx
Cho hàm số f(x)=2x+ex. Nguyên hàm F(x) của hàm số f(x) trên R sao cho F(0) = 2023 là:
A. x2+ex+2023
B. x2+ex+C
C. x2+ex+2022
D. x2+ex
a) Cho hàm số f(x)=x2+e−x. Tìm nguyên hàm F(x) của hàm số f(x) trên R sao cho F(0) = 2023
b) Cho hàm số g(x)=1x. Tìm nguyên hàm G(x) của hàm số g(x) trên khoảng (0;+∞) sao cho G(1) = 2023
Tính đạo hàm của hàm số F(x)=xex, suy ra nguyên hàm của hàm số f(x)=(x+1)ex.
Tìm
a) ∫x5dx
b) ∫13√x2dx (x>0)
c) ∫7xdx
d) ∫3x5xdx
Tìm
a) ∫(2x5+3)dx
b) ∫(5cosx−3sinx)dx
c) ∫(√x2−2x)dx
d) ∫(ex−2−2sin2x)dx
Tìm
a) ∫x(2x−3)2dx
b) ∫sin2x2dx
c) ∫tan2xdx
d) ∫23x.3xdx
Kí hiệu h(x) là chiều cao của một cây (tính theo mét) sau khi trồng x năm. Biết rằng sau năm đầu tiên cây cao 2 m. Trong 10 năm tiếp theo, cây phát triểun với tốc độ h′(x)=1x (m/năm).
a) Xác định chiều cao của cây sau x năm (1≤x≤11).
b) Sau bao nhiêu năm cây cao 3 m?
Một chiếc xe đang chuyển động với tốc độ v0=10(m/s) thì tăng tốc với gia tốc không đổi a=2(m/s2). Tính quãng đường xe đó đi được trong 3 giây kể từ khi bắt đầu tăng tốc.
Khẳng định nào sau đây đúng?
A. ∫(x−1x)2dx=x33−2x−1x+C
B. ∫(x−1x)2dx=x33−2x+1x+C
C. ∫(x−1x)2dx=13(x−1x)3+C
D. ∫(x−1x)2dx=13(x−1x)3(1+1x2)+C
Tìm:
a) ∫[4(2−3x)2−3cosx]dx
b) ∫(3x3−12x3)dx
c) ∫(2sin2x−13cos2x)dx
d) ∫(32x−2+4cosx)dx
e) ∫(45√x4+3√x3)dx
g) ∫(sinx2−cosx2)2dx
Tính đạo hàm của F(x)=ln(x+√x2+1). Từ đó suy ra nguyên hàm của f(x)=1√x2+1.
Cho f(x)=x2lnx và g(x)=xlnx. Tính f′(x) và ∫g(x)dx.
Tìm:
a) ∫(2cosx+3√x)dx; b) ∫(3√x−4sinx)dx.
Tìm:
a) ∫(x+sin2x2)dx;
b) ∫(2tanx+cotx)2dx.
Một viên đạn được bắn thẳng đứng lên trên từ mặt đất với vận tốc tại thời điểm t (t=0 là thời điểm viên đạn được bắn lên) cho bởi v(t)=150−9,8t (m/s).
Tìm độ cao của viên đạn (tính từ mặt đất):
a) Sau t=3 giây;
b) Khi nó đạt độ cao lớn nhất (làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ nhất của mét).
Cho F(u) là một nguyên hàm của hàm số f(u) trên khoảng K và u(x),x∈J, là hàm số có đạo hàm liên tục, u(x)∈K với mọi x∈J. Tìm ∫f(u(x))⋅u′(x)dx.
Áp dụng: Tìm ∫(2x+1)5dx và ∫1√2x+1dx.
Tìm:
a) ∫2x−1x+1dx;
b) ∫(3+2sin2x)dx.
Tìm họ tất cả các nguyên hàm của các hàm số sau:
a) y=sin2x2;
b) y=e2x−2x5+5.
a) 3∫0|3−x|dx;
b) 2∫0(ex−4x3)dx
c) π2∫0(sinx+cosx)dx.
Hàm số y=logx là nguyên hàm của hàm số:
A. y=1x.
B. y=1xln10.
C. y=ln10x.
D. y=1xlog10.
Trong mỗi ý a), b), c), d, chọn phương án: đúng (Đ) hoặc sai (S).
Cho hàm số f(x)=4x3−3x2.
a) ∫f(x)dx=∫4x3dx−∫3x2dx.
b) f′(x)=12x2−6x.
c) f′(x)=x4−x3.
d) ∫f(x)dx=x4+x3+C.
Trong mỗi ý a), b), c), d, chọn phương án: đúng (Đ) hoặc sai (S).
Cho hàm số f(x)=sinx+cosx.
a) ∫f(x)dx=∫sinxdx+∫cosxdx.
b) f′(x)=cosx−sinx.
c) f′(x)+f(x)=cosx.
d) ∫f(x)dx=−cosx+sinx+C.
Trong mỗi ý a), b), c), d, chọn phương án: đúng (Đ) hoặc sai (S).
Cho hàm số f(x)=(x+2)(x+1).
a) f(x)=x2+3x+2.
b) f′(x)=2x+3.
c) ∫f(x)dx=∫(x+2)dx.∫(x+1)dx.
d) ∫f(x)dx=13x3+32x2+2x+C.
Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:
a) f(x)=2sinx;
b) f(x)=cosx+x3;
c) f(x)=−x42−3cosx.
Tìm ∫x2+7x+12x+3dx trên (0;+∞).
Trong mỗi ý a), b), c), d), chọn phương án: đúng (Đ) hoặc sai (S).
Cho hàm số f(x)=x7+8x.
a) f(x)=x6+8x.
b) ∫f(x)dx=∫x6dx−∫8xdx.
c) ∫f(x)dx=∫x6dx+∫8xdx.
d) ∫f(x)dx=x77+8ln|x|.
Tìm:
a) ∫e5xdx;
b) ∫12024xdx;
c) ∫(2x+x2)dx;
d) ∫(2x.32x+1)dx;
e) ∫3x+4x+15xdx.