Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho mặt cầu \((S):{\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} + \left( {z - 3} \right){}^2 = 9\) và đường thẳng \(d:x - 1 = \dfrac{{y - 2}}{2} = \dfrac{{z - 4}}{3}\). $(d)$ cắt $(S)$ tại hai điểm phân biệt $A$ và $B$. Khi đó $AB$ bằng:
-
A.
\(AB = \dfrac{{\sqrt {126} }}{7}\)
-
B.
\(AB = \dfrac{{\sqrt {123} }}{7}\)
-
C.
\(AB = \sqrt {\dfrac{{126}}{7}} \)
-
D.
\(AB = \dfrac{{\sqrt {129} }}{7}\)
Giải hệ phương trình tọa độ giao điểm của $(S)$ và $(d)$ để tìm $A, B$. Sau đó tính $AB$.
Tham số hóa phương trình đường thẳng $d$ ta được: $d:\left\{ \begin{array}{l}x = t + 1\\y = 2 + 2t\\z = 4 + 3t\end{array} \right.$
Giả sử $A$ là giao điểm của $(d)$ và $(P)$.
Vì $A \in d:\left\{ \begin{array}{l}x = t + 1\\y = 2 + 2t\\z = 4 + 3t\end{array} \right.$ nên ta có:$A\left( {t + 1;2 + 2t;4 + 3t} \right)$
Mặt khác \(A \in (S)\) nên ta có
\(\begin{array}{l}{\left( {t + 1 - 1} \right)^2} + {\left( {2 + 2t + 2} \right)^2} + {\left( {4 + 3t - 3} \right)^2} = 9\\ \Leftrightarrow {t^2} + {\left( {4 + 2t} \right)^2} + {\left( {1 + 3t} \right)^2} = 9\\ \Leftrightarrow 14{t^2} + 22t + 8 = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = - 1\\t = - \dfrac{4}{7}\end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}A\left( {0;0;1} \right)\\B\left( {\dfrac{3}{7};\dfrac{6}{7};\dfrac{{16}}{7}} \right)\end{array} \right. \Rightarrow AB = \sqrt {{{\left( {\dfrac{3}{7}} \right)}^2} + {{\left( {\dfrac{6}{7}} \right)}^2} + {{\left( {\dfrac{{16}}{7} - 1} \right)}^2}} = \dfrac{{\sqrt {126} }}{7}\end{array}\)
Đáp án : A
Các bài tập cùng chuyên đề
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho mặt cầu \((S):{x^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} + z{}^2 = {R^2}\). Điều kiện của bán kính $R$ để trục $Ox$ tiếp xúc với $(S)$ là:
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho điểm \(A(1; - 2;3)\) và đường thẳng $d$ có phương trình \(\dfrac{{x + 1}}{2} = \dfrac{{y - 2}}{1} = \dfrac{{z + 3}}{{ - 1}}\). Tính đường kính của mặt cầu $(S)$ có tâm $A$ và tiếp xúc với đường thẳng $d$.
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, phương trình mặt cầu $(S)$ có tâm \(I(2;0;1)\) và tiếp xúc với đường thẳng \(d:\dfrac{{x - 1}}{1} = \dfrac{y}{2} = \dfrac{{z - 2}}{1}\) là:
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho đường thẳng \(\Delta \) có phương trình \(x = y = z\). Trong bốn phương trình mặt cầu dưới đây, phương trình mặt cầu không có hai điểm chung phân biệt với \(\Delta \) là:
Trong bốn phương trình mặt cầu dưới đây, phương trình mặt cầu có điểm chung với trục $Oz$ là:
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho mặt cầu $(S)$ có phương trình
\({(x - 1)^2} + {(y + 2)^2} + {(z - 3)^2} = 50\). Trong số các đường thẳng sau, mặt cầu $(S)$ tiếp xúc với đường thẳng nào.
Xét đường thẳng $d$ có phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + t\\y = 2\\z = 3 + 2t\end{array} \right.\) và mặt cầu $(S)$ có phương trình \({(x - 1)^2} + {(y - 2)^2} + {(z - 3)^2} = 4\). Nhận xét nào sau đây đúng.
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, phương trình mặt cầu $(S)$ có tâm \(I(3; - 2;0)\) và cắt trục $Oy $ tại hai điểm $A, B$ mà \(AB = 8\) là
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho hai đường thẳng \(d:\left\{ \begin{array}{l}x = 2t\\y = t\\z = 4\end{array} \right.\) và \(d':\left\{ \begin{array}{l}x = t'\\y = 3 - t'\\z = 0\end{array} \right.\) . Phương trình mặt cầu có đường kính là đoạn thẳng vuông góc chung của hai đường thẳng $d$ và $d'$ là:
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho mặt cầu $(S)$ có phương trình \({(x + 1)^2} + {(y - 1)^2} + {(z - 2)^2} = 4\). Phương trình nào sau đây là phương trình của mặt cầu đối xứng với mặt cầu $(S)$ qua trục $Oz$.
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho mặt phẳng \((P):2x - y - 2z + 1 = 0\) và ba điểm\(A(1; - 2;0)\), \(B(1;0; - 1)\) và \(C(0;0; - 2)\). Hỏi có tất cả bao nhiêu mặt cầu có tâm thuộc mặt phẳng $(P)$ và tiếp xúc với ba đường thẳng $AB, AC, BC$?
Trong không gian với hệ tọa độ ${\rm{Ox}}yz$. Hãy viết phương trình mặt cầu $(S)$ có tâm \(I(2\,;\,0;1)\) và tiếp xúc với đường thẳng \(d: \dfrac{{x - 1}}{1} = \dfrac{y}{2} = \dfrac{{z - 2}}{1}\).
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho đường thẳng $d:\dfrac{{x - 1}}{{ - 1}} = \dfrac{{y - 2}}{1} = \dfrac{{z + 1}}{2}$, điểm $A (2; -1; 1)$. Gọi $I$ là hình chiếu vuông góc của $A$ lên $d$. Viết phương trình mặt cầu $(C)$ có tâm $I$ và đi qua $A$.
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho mặt cầu $\left( S \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2{\rm{x}} - 4y + 4{\rm{z}} - 16 = 0$ và đường thẳng $d:\dfrac{{x - 1}}{1} = \dfrac{{y + 3}}{2} = \dfrac{z}{2}$. Mặt phẳng nào trong các mặt phẳng sau chứa $d$ và tiếp xúc với mặt cầu $(S)$.
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho mặt cầu $(S)$ có tâm $I$ thuộc đường thẳng \(\Delta :\dfrac{x}{1} = \dfrac{{y + 3}}{1} = \dfrac{z}{2}\) . Biết rằng mặt cầu $(S)$ có bán kính bằng \(2\sqrt 2 \) và cắt mặt phẳng $(Oxz)$ theo một đường tròn có bán kính $2$. Tìm tọa độ tâm $I$.
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho mặt cầu $(S)$ có phương trình: \({x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x + 4y - 2z - 3 = 0\) và đường thẳng \(\Delta :\,\,\dfrac{x}{2} = \dfrac{{y + 1}}{{ - 2}} = z\) . Mặt phẳng $(P)$ vuông góc với \(\Delta \) và tiếp xúc với $(S)$ có phương trình là
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho đường thẳng \(d:\left\{ \begin{array}{l}x = t\\y = - 1\\z = - t\end{array} \right.\) và 2 mặt phẳng $(P)$ và $(Q)$ lần lượt có phương trình $x + 2y + 2z + 3 = 0;x + 2y + 2z + 7 = 0$. Viết phương trình mặt cầu $(S)$ có tâm$I$ thuộc đường thẳng $d$, tiếp xúc với hai mặt phẳng $(P)$ và $(Q)$.
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho đường thẳng \(d:\dfrac{x}{2} = \dfrac{{z - 3}}{1} = \dfrac{{y - 2}}{1}\) và hai mặt phẳng $(P): x – 2y + 2z = 0. (Q): x – 2y + 3z -5 =0$. Mặt cầu $(S)$ có tâm $I $ là giao điểm của đường thẳng $d$ và mặt phẳng $(P)$. Mặt phẳng $(Q)$ tiếp xúc với mặt cầu $(S)$. Viết phương trình của mặt cầu $(S)$.
Trong không gian Oxyz, cho 3 điểm \(A\left( {0;1;1} \right),{\mkern 1mu} B\left( {3;0; - 1} \right),{\mkern 1mu} C\left( {0;21; - 19} \right)\) và mặt cầu \(\left( S \right):{\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {\left( {z - 1} \right)^2} = 1\). Điểm M thuộc mặt cầu (S) sao cho tổng \(3M{A^2} + 2M{B^2} + M{C^2}\) đạt giá trị nhỏ nhất, khi đó, độ dài vectơ \(\overrightarrow {OM} \) là
Trong không gian Oxyz, cho điểm \(E\left( {2;1;3} \right)\), mặt phẳng \(\left( P \right):\,\,2x + 2y - z - 3 = 0\) và mặt cầu \(\left( S \right):\,\,{\left( {x - 3} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {z - 5} \right)^2} = 36\). Gọi \(\Delta \) là đường thẳng đi qua E, nằm trong \(\left( P \right)\) và cắt \(\left( S \right)\) tại hai điểm có khoảng cách nhỏ nhất. Phương trình của \(\Delta \) là:
