Xét đường thẳng $d$ có phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + t\\y = 2\\z = 3 + 2t\end{array} \right.\) và mặt cầu $(S)$ có phương trình \({(x - 1)^2} + {(y - 2)^2} + {(z - 3)^2} = 4\). Nhận xét nào sau đây đúng.
-
A.
$d$ cắt $(S)$ tại hai điểm phân biệt $A, B$ và \(AB < 2R\)
-
B.
$d$ không có điểm chung với $(S)$
-
C.
$d$ tiếp xúc với $(S)$
-
D.
$d$ cắt $(S)$ tại hai điểm phân biệt $A, B $ và $AB$ đạt GTLN.
Xét số giao điểm của $d$ và $(S)$ bằng cách tìm số nghiệm của hệ phương trình
\(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + t\\y = 2\\z = 3 + 2t\\{(x - 1)^2} + {(y - 2)^2} + {(z - 3)^2} = 4\end{array} \right.\)
Giải hệ:
\(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + t\\y = 2\\z = 3 + 2t\\{(x - 1)^2} + {(y - 2)^2} + {(z - 3)^2} = 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1 + t\\y = 2\\z = 3 + 2t\\{t^2} + {(2t)^2} = 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1 + t\\y = 2\\z = 3 + 2t\\5{t^2} = 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}t = \pm \sqrt {\dfrac{4}{5}} \\x = 1 + t\\y = 2\\z = 3 + 2t\end{array} \right.\)
Suy ra $d $ cắt $(S)$ tại hai điểm phân biệt.
Mặt khác $(S)$ có tâm \(I(1;2;3) \in d\) nên $d$ qua tâm của mặt cầu.
Do đó $AB$ đạt GTLN.
Đáp án : D
Các em cũng có thể sử dụng công thức tính khoảng cách từ một điểm đến đường thẳng để tính $d(I;d)$ rồi so sánh với $R$ rồi kết luận vị trí tương đối.
Hoặc quan sát nhanh ta thấy: tâm $I \in d $ nên chắc chắn $d$ cắt $(S)$ tại hai điểm phân biệt $A,B$ và $AB$ chính là đường kính.
Danh sách bình luận