Đề bài

Bác An cắt một sợi dây thép dài $30cm$ thành hai đoạn. Mỗi đoạn được uốn thành một hình vuông. Bác An căng vải trên hai khung đó. Hỏi cần cắt đoạn dây như thế nào để tổng diện tích phần vải căng đạt giá trị nhỏ nhất (coi mép vải thừa không đáng kể).

Phương pháp giải

Giả sử sợi dây thép AC = 30cm được cắt thành hai đoạn AB và BC như hình vẽ.

Gọi cạnh của hình vuông uốn được từ đoạn AB là $x$ (cm), $\left( {0 < x < 30} \right)$.

Khi đó biểu diễn được độ dài đoạn AB theo công thức tính diện tích hình vuông.

Suy ra độ dài đoạn BC và độ dài cạnh của hình vuông uốn được từ đoạn BC.

Suy ra tổng diện tích hai hình vuông.

Biến đổi biểu thức bằng cách sử dụng hằng đẳng thức cộng 1 số để xuất hiện giá trị nhỏ nhất của biểu thức.

Dấu “=” xảy ra là giá trị nhỏ nhất của tổng diện tích hai hình vuông, ta tính được $x$.

Suy ra độ dài đoạn AB, BC và xác định được vị trí cắt thoả mãn.

Lời giải của GV Loigiaihay.com

https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2024/12/blobid603-1733912268.png

Giả sử sợi dây thép AC = 30cm được cắt thành hai đoạn AB và BC như hình vẽ.

Gọi cạnh của hình vuông uốn được từ đoạn AB là $x$ (cm), $\left( {0 < x < 30} \right)$.

Khi đó độ dài đoạn AB là $4x$ (m).

Độ dài đoạn BC là: $30 - 4x$ (m).

Suy ra độ dài cạnh hình vuông được uốn bởi đoạn BC là: $\dfrac{30 - 4x}{4} = \dfrac{15}{2} - x$ (m).

Tổng diện tích hai hình vuông lúc này là: $x^{2} + \left( {\dfrac{15}{2} - x} \right)^{2}$ $\left( m^{2} \right)$.

Ta có:

$\begin{array}{l} {x^{2} + \left( {\dfrac{15}{2} - x} \right)^{2} = x^{2} + \dfrac{225}{4} - 15x + x^{2}} \\ {= 2x^{2} - 15x + \dfrac{225}{4}} \\ {= 2\left( {x^{2} - \dfrac{15}{2}x + \dfrac{225}{16}} \right) + \dfrac{225}{8}} \\ {= 2\left( {x - \dfrac{15}{4}} \right)^{2} + \dfrac{225}{8} \geq \dfrac{225}{8}} \end{array}$

Dấu “=” xảy ra là giá trị nhỏ nhất của tổng diện tích hai hình vuông.

Khi đó $x - \dfrac{15}{4} = 0$, suy ra $x = \dfrac{15}{4}$

Khi đó độ dài đoạn thẳng AB = $\dfrac{15}{4}.4 = 15$ (cm) và độ dài BC = 30 – 15 = 15 (cm) hay B là trung điểm của AC.

Vậy để tổng diện tích hai hình vuông đạt giá trị nhỏ nhất thì ta chia đoạn dây thép thành hai phần bằng nhau và bằng 15cm.

 

Các bài tập cùng chuyên đề

Bài 1 :

Với hai số a, b bất kì, viết \(a - b = a + \left( { - b} \right)\) và áp dụng hằng đẳng thức bình phương của một tổng để tính \({\left( {a - b} \right)^2}\).

Xem lời giải >>
Bài 2 :

Khai triển \({\left( {3x - 2y} \right)^2}\)

Xem lời giải >>
Bài 3 :

Trong trò chơi “Ai thông minh hơn học sinh lớp 8”, người dẫn chương trình yêu cầu các bạn học sinh cho biết kết quả của phép tính \({1002^2}\). Chỉ vài giây sau, Nam đã tính ra kết quả chính xác và giành được điểm. Em hãy giải thích xem Nam đã tính nhanh như thế nào.

Xem lời giải >>
Bài 4 :

Tính nhanh: \({49^2}\)

Xem lời giải >>
Bài 5 :

Tính:

a) \({\left( {3a - 1} \right)^2}\)

b) \({\left( {4u - 5v} \right)^2}\)

Xem lời giải >>
Bài 6 :

Viết các biểu thức sau dưới dạng bình phương của một hiệu:

a)     \({a^2} - 12a + 36\);

b)    \(25{x^2} + 64{y^2} - 80xy\)

Xem lời giải >>
Bài 7 :

Trong Hình 1.9, diện tích của hình vuông là \(9m - 42m + 49\), với \(m > 3\).

a) Tìm độ dài cạnh hình vuông theo \(m\). Từ đó biểu diễn \(s\)theo \(m\).

b) Tính diện tích hình chữ nhật trong hình 1.9 theo \(m\).

Xem lời giải >>
Bài 8 :

Biểu thức \({x^2} - x + \frac{1}{4}\) được viết dưới dạng bình phương của một hiệu:

A. \({\left( {x-1} \right)^2}\).

B. \({\left( {x - \frac{1}{2}} \right)^2}\).

C. \({\left( {2x - \frac{1}{2}} \right)^2}\).

D. \({\left( {\frac{1}{2}x - 1} \right)^2}\).

Xem lời giải >>
Bài 9 :

Kết quả của khai triển phép tính \(\left( \frac{1}{2} x - 1\right)^2\)  là

  • A.

    \(\frac{1}{2}x^2 - \frac{1}{2}x + 1\)

  • B.

    \(\frac{1}{4}x^2 - 1\)

  • C.

    \(\frac{1}{4}x^2 - \frac{1}{2}x + 1\)

  • D.

    \(\frac{1}{4}x^2 - x + 1\)

Xem lời giải >>
Bài 10 :
Để biểu thức \(4x^2−20x+5a\) là bình phương của một hiệu thì giá trị của a bằng
  • A.
    10.
  • B.
    -10 
  • C.
    5.
  • D.

     -5.

Xem lời giải >>
Bài 11 :

Cho biểu thức \(A = \frac{{16}}{{{x^2} - 2x + 5}}\). Tính giá trị lớn nhất của biểu thức A.

Xem lời giải >>
Bài 12 :

Viết biểu thức \(25{x^2} - 20xy + 4{y^2}\) dưới dạng bình phương của một hiệu.

  • A.

    \({\left( {5x + 2y} \right)^2}\).

  • B.

    \({\left( {2x - 5y} \right)^2}\).

  • C.

    \({\left( {25x - 4y} \right)^2}\).

  • D.

    \({\left( {5x - 2y} \right)^2}\).

Xem lời giải >>
Bài 13 :

Kết quả của biểu thức \({\left( {x + 2} \right)^2} - 4\left( {x + 2} \right) + 4\) là

  • A.

    \({x^2} + 16\).

  • B.

    \({x^2} + 8x + 16\).

  • C.

    \({x^2} - 4x\).

  • D.

    \({x^2}\).

Xem lời giải >>
Bài 14 :

Tìm giá trị nhỏ nhất của phân thức \(\frac{{12}}{{12 - 4x - {x^2}}}\).

Xem lời giải >>
Bài 15 :

Khai triển hằng đẳng thức \({\left( {2x - 3} \right)^2}\), ta được

  • A.

    \(4{x^2} - 12x + 9\).

  • B.

    \(4{x^2} - 6x + 9\).

  • C.

    \(2{x^2} - 6x + 3\).

  • D.

    \(4{x^2} + 12x + 9\).

Xem lời giải >>
Bài 16 :

Kết quả khai triển \({\left( {2x - 1} \right)^2}\) là:

  • A.

    \(4{x^2} + 4x + 1\).

  • B.

    \(2{x^2} - 4x + 1\).

  • C.

    \(4{x^2} - 4x - 1\).

  • D.

    \(4{x^2} - 4x + 1\).

Xem lời giải >>
Bài 17 :

Dùng hằng đẳng thức đáng nhớ biến đổi biểu thức \({\left( {x - 2y} \right)^2}\) ta được kết quả là:

  • A.

    \({x^2} - 2xy + 4{y^2}\).

  • B.

    \({x^2} - 4xy + 2{y^2}\).

  • C.

    \({x^2} - 4xy + 4{y^2}\).

  • D.

    \({x^2} - 4{y^2}\).

Xem lời giải >>
Bài 18 :

Kết quả của phép tính \({72^2} + {22^2} - 44.72\) là:

  • A.

    784.

  • B.

    250.

  • C.

    2500.

  • D.

    8836.

Xem lời giải >>