Tìm số hạng lớn nhất của khai triển \({(p + q)^n}\) với \(p > 0,q > 0,p + q = 1\).
Ta có:
\({(p + q)^n} = C_n^0{p^n} + C_n^1{p^{n - 1}}q + C_n^2{p^{n - 2}}{q^2} + ... + C_n^n{q^n} = \sum\limits_{k = 0}^n {C_n^k{p^{n - k}}{q^k}} = \sum\limits_{k = 0}^n {{a_k}} \)
Giả sử \({a_k}\) là số hạng lớn nhất với \(1 \le k \le n - 1\)
\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{a_k} \ge {a_{k - 1}}\\{a_k} \ge {a_{k + 1}}\end{array} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}C_n^k{p^{n - k}}{q^k} \ge C_n^{k - 1}{p^{n - k + 1}}{q^{k - 1}}\quad (1)\\C_n^k{p^{n - k}}{q^k} \ge C_n^{k + 1}{p^{n - k - 1}}{q^{k + 1}}\quad (2)\end{array} \right.\)
\(\begin{array}{l}(1) \Leftrightarrow \frac{{n!}}{{k!\left( {n - k} \right)!}}{p^{n - k}}{q^k} \ge \frac{{n!}}{{(k - 1)!\left( {n - k + 1} \right)!}}{p^{n - k + 1}}{q^{k - 1}}\\ \Leftrightarrow \frac{1}{k}q \ge \frac{1}{{n - k + 1}}p \Leftrightarrow \frac{{1 - p}}{k} \ge \frac{p}{{n - k + 1}}\\ \Leftrightarrow pk \le (1 - p)(n - k + 1)\end{array}\)
\(\begin{array}{l}(2) \Leftrightarrow \frac{{n!}}{{k!\left( {n - k} \right)!}}{p^{n - k}}{q^k} \ge \frac{{n!}}{{(k + 1)!\left( {n - k - 1} \right)!}}{p^{n - k - 1}}{q^{k + 1}}\\ \Leftrightarrow \frac{1}{{n - k}}p \ge \frac{1}{{k + 1}}q \Leftrightarrow \frac{p}{{n - k}} \ge \frac{{1 - p}}{{k + 1}}\\ \Leftrightarrow p(k + 1) \ge (1 - p)(n - k)\\ \Leftrightarrow p(k + 1) + 1 - p \ge (1 - p)(n - k + 1)\end{array}\)
Từ (1) và (2) suy ra \(p(k + 1) + 1 - p \ge pk\).
Các bài tập cùng chuyên đề
Hãy chứng minh các công thức trên bằng cách sử dụng công thức tính số các tổ hợp:
a) Quan sát ba dòng đầu, hoàn thành tiếp hai dòng cuối theo mẫu:
\({(a + b)^1} = a + b = C_1^0a + C_1^1b\)
\({(a + b)^2} = {a^2} + 2ab + {b^2} = C_2^0{a^2} + C_2^1ab + C_2^2{b^2}\)
\({(a + b)^3} = {a^3} + 3{a^2}b + 3a{b^2} + {b^3} = C_3^0{a^3} + C_3^1{a^2}b + C_3^2a{b^2} + C_3^3{b^3}\)
\({(a + b)^4} = {a^4} + 4{a^3}b + 6{a^2}{b^2} + 4a{b^3} + {b^4} = ...\)
\({(a + b)^5} = {a^5} + 5{a^4}b + 10{a^3}{b^2} + 10{a^2}{b^3} + 5a{b^4} + {b^5} = ...\)
Nhận xét rằng các hệ số khai triển của hai số hạng cách đều số hạng đầu và số hạng cuối luôn bằng nhau. Hãy so sánh, chẳng hạn \(C_4^1\) và \(C_4^3\), \(C_5^2\) và \(C_5^3\). Từ đó hãy dự đoán hệ thức giữa \(C_n^k\) và \(C_n^{n - k}(0 \le k \le n)\).
b) Từ tính chất của tam giác Pascal, hãy so sánh \(C_1^0 + C_1^1\) và \(C_2^1\), \(C_2^0 + C_2^1\) và \(C_3^1,...\) Từ đó hãy dự đoán hệ thức giữa \(C_{n - 1}^{k - 1} + C_{n - 1}^k\) và \(C_n^k\).
a) Sử dụng tam giác Pascal viết khai triển của \({(a + b)^7}\).
b) Sử dụng tam giác Pascal viết khai triển của \({(2x - 1)^4}\).
Tìm các hàng 7 và 8 của tam giác Pascal.
Trong Bài 25 SGK Toán 10 (bộ sách Kết nối tri thức với cuộc sống), ta đã biết:
\({(a + b)^1} = a + b\)
\({(a + b)^2} = {a^2} + 2ab + {b^2}\)
\({(a + b)^3} = {a^3} + 3{a^2}b + 3a{b^2} + {b^3}\)
\({(a + b)^4} = {a^4} + 4{a^3}b + 6{a^2}{b^2} + 4a{b^3} + {b^4}\)
\({(a + b)^5} = {a^5} + 5{a^4}b + 10{a^3}{b^2} + 10{a^2}{b^3} + 5a{b^4} + {b^5}\)
Với \(n \in \left\{ {1;2;3;4;5} \right\}\) trong khai triển của mỗi nhị thức \({(a + b)^n}\):
a) Có bao nhiêu số hạng?
b) Tổng số mũ của a và b trong mỗi số hạng bằng bao nhiêu?
c) Số mũ của a và b thay đổi thế nào khi chuyển từ số hạng này đến số hạng tiếp theo, tính từ trái sangg phải?
a) Viết khai triển nhị thức Newton của \({(1 + x)^n}\).
b) Cho \(x = 1\) trong khai triển ở câu a), viết đẳng thức nhận được. Giải thích ý nghĩa của đẳng thức này với lưu ý rằng \(C_n^k(0 \le k \le n)\) chính là số tập con gồm k phần tử của một tập hợp có n phần tử.
c) Tương tự, cho \(x = - 1\) trong khai triển ở câu a), viết đẳng thức nhận được. Giải thích ý nghĩa của đẳng thức này.
Tìm hệ số của \({x^7}\) trong khai triển thành đa thức của \({(2 - 3x)^{10}}\).
Khai triển \({(x - 2y)^6}\).
Quan sát khai triển nhị thức của \({(a + b)^n}\) với \(n \in \left\{ {1;2;3;4;5} \right\}\) ở HDD3, hãy dự đoán công thức khai triển trong tường hợp tổng quát.
Sử dụng tam giác Pascal, viết khai triển:
a) \({(x - 1)^5}\).
b) \({(2x - 3y)^4}\).
Viết khai triển theo Nhị Thức Newton:
a) \({(x + y)^6}\).
b) \({(1 - 2x)^5}\).
Tìm hệ số của \({x^8}\) trong khai triển của \({\left( {2x + 3} \right)^{10}}\).
Biết hệ số của \({x^2}\) trong khai triển của \({(1 - 3x)^n}\) là 90. Tìm n.
Từ khai triển biểu thức \({(3x - 5)^4}\) thành đa thức, hãy tính tổng các hệ số của đa thức nhận được.
Tìm hệ số của \({x^5}\) trong khai triển thành đa thức của biểu thức:
\(x{\left( {1 - 2x} \right)^5} + {x^2}{(1 + 3x)^{10}}\).
Tính tổng sau đây:
\(C_{2021}^0 - 2C_{2021}^1 + {2^2}C_{2021}^2 - {2^3}C_{2021}^3 + ... - {2^{2021}}C_{2021}^{2021}\).
Tìm số tự nhiên n thỏa mãn:
\(C_{2n}^0 + C_{2n}^2 + C_{2n}^4... + C_{2n}^{2n} = {2^{2021}}\).
Tìm số nguyên dương n sao cho:
\(C_n^0 + 2C_n^1 + 4C_n^2... + {2^n}C_n^n = 243\).
Biết rằng \({(2 + x)^{100}} = {a_0} + {a_1}x + {a_2}{x^2} + ... + {a_{100}}{x^{100}}\). Với giá trị nào của k \((0 \le k \le 100)\) thì \({a_k}\) lớn nhất?
a) Khai triển \({(1 + x)^{10}}\).
b) So sánh \({\left( {1,1} \right)^{10}}\) và 2.
Tìm hệ số của \({x^9}\) trong khai triển thành đa thức của \({\left( {2x - 3} \right)^{11}}\).
Khai triển đa thức \({\left( {1 + 2x} \right)^{12}}\) thành dạng \({a_0} + {a_1}x + {a_2}{x^2} + ... + {a_{12}}{x^{12}}\).
Tìm hệ số \({a_k}\) lớn nhất?
Chứng minh rằng:
\(C_{2n}^0 + C_{2n}^2 + C_{2n}^4... + C_{2n}^{2n} = C_{2n}^1 + C_{2n}^3 + C_{2n}^5... + C_{2n}^{2n - 1}\).
Áp dụng: Tìm số nguyên dương n thỏa mãn \(C_{2n}^1 + C_{2n}^3 + C_{2n}^5... + C_{2n}^{2n - 1} = 2048\).
Tìm giá trị lớn nhất trong các giá trị:
\(C_n^0,C_n^1,C_n^2,...,C_n^n\).
Áp dụng: Tìm hệ số lớn nhất của khai triển \({(a + b)^n}\) biết rằng tổng các hệ số của khai triển bằng 4096.
Cho \(n \in \mathbb{N}*\). Chứng minh \(C_n^0 + C_n^1 + C_n^2 + ... + C_n^{n - 1} + C_n^n = {2^n}\).
Khai triển biểu thức \({\left( {x + 2} \right)^7}\).
a) Quan sát khai triển biểu thức sau:
\({(a + b)^5} = C_5^0{a^5} + C_5^1{a^{5 - 1}}{b^1} + C_5^2{a^{5 - 2}}{b^2} + C_5^3{a^{5 - 3}}{b^3} + C_5^4{a^{5 - 4}}{b^4} + C_5^5{b^5}\).
Từ đó nêu dạng tổng quát của mỗi số hạng trong khai triển biểu thức \({(a + b)^5}\).
b) Xét biểu thức \({(a + b)^n}\) với \(n \in \mathbb{N}*,n \ge 2\).
Nêu dự đoán về dạng tổng quát của mỗi số hạng trong khai triển biểu thức \({(a + b)^n}\).
Sử dụng tam giác Pascal để khai triển các biểu thức sau:
a) \({(x + y)^7}\).
b) \({(x - 2)^7}\).
Khai triển biểu thức:
a) \({(2x + y)^6}\).
b) \({(x - 3y)^6}\).
c) \({(x - 1)^n}\).
d) \({(x + 2)^n}\).
e) \({(x + y)^{2n}}\).
f) \({(x - y)^{2n}}\).
Tính:
a) \(S = C_{2022}^0{9^{2022}} + C_{2022}^1{9^{2021}} + ... + C_{2022}^k{9^{2022 - k}} + ... + C_{2022}^{2021}9 + C_{2022}^{2022}\).
b) \(T = C_{2022}^0{4^{2022}} - C_{2022}^1{4^{2021}}.3 + ... - C_{2022}^{2021}{4.3^{2021}} + C_{2022}^{2022}{.3^{2022}}\).
