Trong Bài 25 SGK Toán 10 (bộ sách Kết nối tri thức với cuộc sống), ta đã biết:
\({(a + b)^1} = a + b\)
\({(a + b)^2} = {a^2} + 2ab + {b^2}\)
\({(a + b)^3} = {a^3} + 3{a^2}b + 3a{b^2} + {b^3}\)
\({(a + b)^4} = {a^4} + 4{a^3}b + 6{a^2}{b^2} + 4a{b^3} + {b^4}\)
\({(a + b)^5} = {a^5} + 5{a^4}b + 10{a^3}{b^2} + 10{a^2}{b^3} + 5a{b^4} + {b^5}\)
Với \(n \in \left\{ {1;2;3;4;5} \right\}\) trong khai triển của mỗi nhị thức \({(a + b)^n}\):
a) Có bao nhiêu số hạng?
b) Tổng số mũ của a và b trong mỗi số hạng bằng bao nhiêu?
c) Số mũ của a và b thay đổi thế nào khi chuyển từ số hạng này đến số hạng tiếp theo, tính từ trái sangg phải?
Trong khai triển của mỗi nhị thức \({(a + b)^n}\):
a) Có \(n + 1\) số hạng.
b) Tổng số mũ của a và b trong mỗi số hạng luôn bằng n.
c) Số mũ của a giảm dần từ n về 0 khi chuyển từ số hạng này đến số hạng tiếp theo, tính từ trái sangg phải.
Số mũ của b tăng dần từ 0 đến n khi chuyển từ số hạng này đến số hạng tiếp theo, tính từ trái sangg phải.
Các bài tập cùng chuyên đề
Hãy chứng minh các công thức trên bằng cách sử dụng công thức tính số các tổ hợp:
a) Quan sát ba dòng đầu, hoàn thành tiếp hai dòng cuối theo mẫu:
\({(a + b)^1} = a + b = C_1^0a + C_1^1b\)
\({(a + b)^2} = {a^2} + 2ab + {b^2} = C_2^0{a^2} + C_2^1ab + C_2^2{b^2}\)
\({(a + b)^3} = {a^3} + 3{a^2}b + 3a{b^2} + {b^3} = C_3^0{a^3} + C_3^1{a^2}b + C_3^2a{b^2} + C_3^3{b^3}\)
\({(a + b)^4} = {a^4} + 4{a^3}b + 6{a^2}{b^2} + 4a{b^3} + {b^4} = ...\)
\({(a + b)^5} = {a^5} + 5{a^4}b + 10{a^3}{b^2} + 10{a^2}{b^3} + 5a{b^4} + {b^5} = ...\)
Nhận xét rằng các hệ số khai triển của hai số hạng cách đều số hạng đầu và số hạng cuối luôn bằng nhau. Hãy so sánh, chẳng hạn \(C_4^1\) và \(C_4^3\), \(C_5^2\) và \(C_5^3\). Từ đó hãy dự đoán hệ thức giữa \(C_n^k\) và \(C_n^{n - k}(0 \le k \le n)\).
b) Từ tính chất của tam giác Pascal, hãy so sánh \(C_1^0 + C_1^1\) và \(C_2^1\), \(C_2^0 + C_2^1\) và \(C_3^1,...\) Từ đó hãy dự đoán hệ thức giữa \(C_{n - 1}^{k - 1} + C_{n - 1}^k\) và \(C_n^k\).
a) Sử dụng tam giác Pascal viết khai triển của \({(a + b)^7}\).
b) Sử dụng tam giác Pascal viết khai triển của \({(2x - 1)^4}\).
Tìm các hàng 7 và 8 của tam giác Pascal.
a) Viết khai triển nhị thức Newton của \({(1 + x)^n}\).
b) Cho \(x = 1\) trong khai triển ở câu a), viết đẳng thức nhận được. Giải thích ý nghĩa của đẳng thức này với lưu ý rằng \(C_n^k(0 \le k \le n)\) chính là số tập con gồm k phần tử của một tập hợp có n phần tử.
c) Tương tự, cho \(x = - 1\) trong khai triển ở câu a), viết đẳng thức nhận được. Giải thích ý nghĩa của đẳng thức này.
Tìm hệ số của \({x^7}\) trong khai triển thành đa thức của \({(2 - 3x)^{10}}\).
Khai triển \({(x - 2y)^6}\).
Quan sát khai triển nhị thức của \({(a + b)^n}\) với \(n \in \left\{ {1;2;3;4;5} \right\}\) ở HDD3, hãy dự đoán công thức khai triển trong tường hợp tổng quát.
Sử dụng tam giác Pascal, viết khai triển:
a) \({(x - 1)^5}\).
b) \({(2x - 3y)^4}\).
Viết khai triển theo Nhị Thức Newton:
a) \({(x + y)^6}\).
b) \({(1 - 2x)^5}\).
Tìm hệ số của \({x^8}\) trong khai triển của \({\left( {2x + 3} \right)^{10}}\).
Biết hệ số của \({x^2}\) trong khai triển của \({(1 - 3x)^n}\) là 90. Tìm n.
Từ khai triển biểu thức \({(3x - 5)^4}\) thành đa thức, hãy tính tổng các hệ số của đa thức nhận được.
Tìm hệ số của \({x^5}\) trong khai triển thành đa thức của biểu thức:
\(x{\left( {1 - 2x} \right)^5} + {x^2}{(1 + 3x)^{10}}\).
Tính tổng sau đây:
\(C_{2021}^0 - 2C_{2021}^1 + {2^2}C_{2021}^2 - {2^3}C_{2021}^3 + ... - {2^{2021}}C_{2021}^{2021}\).
Tìm số tự nhiên n thỏa mãn:
\(C_{2n}^0 + C_{2n}^2 + C_{2n}^4... + C_{2n}^{2n} = {2^{2021}}\).
Tìm số nguyên dương n sao cho:
\(C_n^0 + 2C_n^1 + 4C_n^2... + {2^n}C_n^n = 243\).
Biết rằng \({(2 + x)^{100}} = {a_0} + {a_1}x + {a_2}{x^2} + ... + {a_{100}}{x^{100}}\). Với giá trị nào của k \((0 \le k \le 100)\) thì \({a_k}\) lớn nhất?
a) Khai triển \({(1 + x)^{10}}\).
b) So sánh \({\left( {1,1} \right)^{10}}\) và 2.
Tìm hệ số của \({x^9}\) trong khai triển thành đa thức của \({\left( {2x - 3} \right)^{11}}\).
Khai triển đa thức \({\left( {1 + 2x} \right)^{12}}\) thành dạng \({a_0} + {a_1}x + {a_2}{x^2} + ... + {a_{12}}{x^{12}}\).
Tìm hệ số \({a_k}\) lớn nhất?
Chứng minh rằng:
\(C_{2n}^0 + C_{2n}^2 + C_{2n}^4... + C_{2n}^{2n} = C_{2n}^1 + C_{2n}^3 + C_{2n}^5... + C_{2n}^{2n - 1}\).
Áp dụng: Tìm số nguyên dương n thỏa mãn \(C_{2n}^1 + C_{2n}^3 + C_{2n}^5... + C_{2n}^{2n - 1} = 2048\).
Tìm giá trị lớn nhất trong các giá trị:
\(C_n^0,C_n^1,C_n^2,...,C_n^n\).
Áp dụng: Tìm hệ số lớn nhất của khai triển \({(a + b)^n}\) biết rằng tổng các hệ số của khai triển bằng 4096.
Tìm số hạng lớn nhất của khai triển \({(p + q)^n}\) với \(p > 0,q > 0,p + q = 1\).
Cho \(n \in \mathbb{N}*\). Chứng minh \(C_n^0 + C_n^1 + C_n^2 + ... + C_n^{n - 1} + C_n^n = {2^n}\).
Khai triển biểu thức \({\left( {x + 2} \right)^7}\).
a) Quan sát khai triển biểu thức sau:
\({(a + b)^5} = C_5^0{a^5} + C_5^1{a^{5 - 1}}{b^1} + C_5^2{a^{5 - 2}}{b^2} + C_5^3{a^{5 - 3}}{b^3} + C_5^4{a^{5 - 4}}{b^4} + C_5^5{b^5}\).
Từ đó nêu dạng tổng quát của mỗi số hạng trong khai triển biểu thức \({(a + b)^5}\).
b) Xét biểu thức \({(a + b)^n}\) với \(n \in \mathbb{N}*,n \ge 2\).
Nêu dự đoán về dạng tổng quát của mỗi số hạng trong khai triển biểu thức \({(a + b)^n}\).
Sử dụng tam giác Pascal để khai triển các biểu thức sau:
a) \({(x + y)^7}\).
b) \({(x - 2)^7}\).
Khai triển biểu thức:
a) \({(2x + y)^6}\).
b) \({(x - 3y)^6}\).
c) \({(x - 1)^n}\).
d) \({(x + 2)^n}\).
e) \({(x + y)^{2n}}\).
f) \({(x - y)^{2n}}\).
Tính:
a) \(S = C_{2022}^0{9^{2022}} + C_{2022}^1{9^{2021}} + ... + C_{2022}^k{9^{2022 - k}} + ... + C_{2022}^{2021}9 + C_{2022}^{2022}\).
b) \(T = C_{2022}^0{4^{2022}} - C_{2022}^1{4^{2021}}.3 + ... - C_{2022}^{2021}{4.3^{2021}} + C_{2022}^{2022}{.3^{2022}}\).
