Cho đường thẳng d đi qua tâm O của đường tròn (C) và cắt (C) tại A và B. Tìm ảnh của đường tròn (C) qua phép chiếu vuông góc lên d.
Tìm ảnh của một số điểm bất kì trên đường tròn (C) qua phép chiếu vuông góc lên d. Từ đó rút ra kết luận.
Ta đặt f là phép chiếu vuông góc lên d.
Vì A, B là giao điểm của đường thẳng d và đường tròn (C) nên \(A{\rm{ }} = {\rm{ }}f\left( A \right),{\rm{ }}B{\rm{ }} = {\rm{ }}f\left( B \right){\rm{ }}\left( 1 \right)\)
Lấy điểm M ∈ (C) sao cho M ≠ A và M ≠ B.
Kẻ \(MM' \bot d\) tại M’.
Khi đó ta có \(M' = {\rm{ }}f\left( M \right).\)
Mà AB là đường kính của đường tròn (C) nên M’ nằm trên đoạn thẳng AB.
Tương tự như vậy, mỗi điểm N bất kì di động trên đường tròn (C) sao cho N ≠ A và N ≠ B thì ảnh N’ của N qua f đều nằm trên đoạn thẳng AB (2)
Từ (1), (2), ta thu được ảnh của đường tròn (C) qua phép chiếu vuông góc lên d là đoạn thẳng AB hay \(f\left( {\left( C \right)} \right){\rm{ }} = {\rm{ }}AB.\)
Các bài tập cùng chuyên đề
Hoa và Hưng cùng chơi trò chơi sau: Hai bạn luân phiên nhau đặt các đồng xu có cùng kích thước lên trên một mặt mảnh giấy hình chữ nhật sao cho các xu nằm hoàn toàn trên mảnh giấy và xu đặt sau không chồng lên xu trước. Mỗi bạn, đến lượt mình được đặt một xu. Ai là người đầu tiên không còn chỗ để đặt xu là người thua cuộc.
Trong một lần chơi, là người đặt xu trước, Hoa đặt đồng xu đầu tiên tại vị trí O ở chính giữa mảnh giấy, và sau đó, ở mỗi lượt đặt xu, nếu Hưng đặt đồng xu ở vị trí M thì Hoa đặt ở vị trí M' đối xứng với M qua O. Hỏi trong lần chơi nói trên, ai là người thắng cuộc?
Quan sát ba tấm ảnh hoa hồng ở Hình 1.4, hãy cho biết hình nào giống ảnh của hình ở giữa qua một phép co về trục.
Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, cho phép biến hình f biến mỗi điểm \(M\left( {x;{\rm{ }}y} \right)\) thành điểm \(M'\left( {x{\rm{ }} + {\rm{ }}1;{\rm{ }}y{\rm{ }} + {\rm{ }}2} \right).\)
a) Xét các điểm \(A\left( {-{\rm{ }}1;{\rm{ }}5} \right),{\rm{ }}B\left( {2;{\rm{ }}2} \right),{\rm{ }}C\left( {4;{\rm{ }}0} \right)\) thuộc \(\Delta :{\rm{ }}x{\rm{ }} + {\rm{ }}y{\rm{ }}-{\rm{ }}4{\rm{ }} = {\rm{ }}0\). Xác định các ảnh của chúng qua f.
b) Chứng minh rằng nếu \(M\left( {{x_0};{\rm{ }}{y_0}} \right)\) là điểm thuộc đường thẳng \(\Delta :{\rm{ }}x{\rm{ }} + {\rm{ }}y{\rm{ }}-{\rm{ }}4{\rm{ }} = {\rm{ }}0\) thì ảnh \(M'\left( {{x_0}\; + {\rm{ }}1;{\rm{ }}{y_0}\; + {\rm{ }}2} \right)\) của nó thuộc đường thẳng \(\Delta ':{\rm{ }}x + {\rm{ }}y{\rm{ }}-{\rm{ }}7{\rm{ }} = {\rm{ }}0.\;\;\)
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho điểm I(1; 2). Xét phép biến hình f biến điểm I thành điểm I và biến mỗi điểm M khác I thành điểm M' sao cho I là trung điểm của MM'. Tìm tọa độ ảnh của điểm A(3; – 2) qua phép biến hình f.
Trong bảng quan sát quy luật điền các cặp (A, A'), (B, B'), (C, C'), ..., từ đó điền các kí hiệu N', P', Q', R', S' vào các vị trí thích hợp.
Trong mặt phẳng cho đường thẳng d và điểm M. Dựng hình chiếu vuông góc M' của điểm M lên đường thẳng d (Hình 2).
a) Có bao nhiêu hình chiếu vuông góc của điểm M trên đường thẳng d?
b) Có điểm nào của mặt phẳng không có hình chiếu vuông góc trên đường thẳng d hay không?
Bức tranh trang trí trong hình bên trước khi tô màu thực chất được tạo ra từ một hình mũi tên duy nhất và được dời chỗ tới các vị trí khác nhau. Hãy thảo luận để tìm hiểu về các phép biến đổi hình học nào đã tạo ra tất cả các hình mũi tên như vậy từ một hình mũi tên ban đầu.
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, ứng mỗi điểm M(x; y) quy tắc f xác định điểm M’(–3x; 3y). Hãy cho biết f có phải là phép biến hình không. Nếu có, tìm ảnh của điểm A(–1; 2) qua f.
Trong mặt phẳng, cho đường thẳng d và điểm M. Gọi M’ là hình chiếu vuông góc của M trên đường thẳng d.
Vẽ ba điểm A, B, C tùy ý và tìm hình chiếu vuông góc A’, B’, C’ của chúng trên d.
Quan sát các điểm được vẽ trên mặt phẳng tọa độ (Hình 1).
a) Có nhận xét gì về các vectơ \(\overrightarrow {AA'} ,\,\overrightarrow {BB'} ,\,...,\,\overrightarrow {EE'} \)
b) Có hay không phép biến hình biến các điểm A, B, C, D, E thành các điểm A’, B’, C’, D’, E’?
Cho đường thẳng d. Gọi f là quy tắc xác định như sau:
a) Với điểm M không thuộc d, xác định điểm M’ sao cho d là đường trung trực của MM’ (Hình 1).
b) Với điểm M thuộc d thì f biến điểm M thành chính nó.
Hỏi f có phải là phép biến hình hay không?
Trong các hình sau, hình nào có trục đối xứng?
Có phép biến hình nào biến một nửa mỗi hình phẳng sau đây thành nửa còn lại không?
Trong Hình 1, tìm hai phép biến hình để biến tam giác ABC thành tam giác A’B’C’.
