Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, cho phép biến hình f biến mỗi điểm \(M\left( {x;{\rm{ }}y} \right)\) thành điểm \(M'\left( {x{\rm{ }} + {\rm{ }}1;{\rm{ }}y{\rm{ }} + {\rm{ }}2} \right).\)
a) Xét các điểm \(A\left( {-{\rm{ }}1;{\rm{ }}5} \right),{\rm{ }}B\left( {2;{\rm{ }}2} \right),{\rm{ }}C\left( {4;{\rm{ }}0} \right)\) thuộc \(\Delta :{\rm{ }}x{\rm{ }} + {\rm{ }}y{\rm{ }}-{\rm{ }}4{\rm{ }} = {\rm{ }}0\). Xác định các ảnh của chúng qua f.
b) Chứng minh rằng nếu \(M\left( {{x_0};{\rm{ }}{y_0}} \right)\) là điểm thuộc đường thẳng \(\Delta :{\rm{ }}x{\rm{ }} + {\rm{ }}y{\rm{ }}-{\rm{ }}4{\rm{ }} = {\rm{ }}0\) thì ảnh \(M'\left( {{x_0}\; + {\rm{ }}1;{\rm{ }}{y_0}\; + {\rm{ }}2} \right)\) của nó thuộc đường thẳng \(\Delta ':{\rm{ }}x + {\rm{ }}y{\rm{ }}-{\rm{ }}7{\rm{ }} = {\rm{ }}0.\;\;\)
Phép biến hình f trong mặt phẳng là một quy tắc cho tương ứng với mỗi điểm M với duy nhất một điểm M’. Điểm M’ được gọi là ảnh của điểm M qua phép biến hình f, kí hiệu \(M' = f(M)\).
a) Ảnh của điểm A(– 1; 5) qua phép biến hình f là điểm \(A'\left( {-{\rm{ }}1{\rm{ }} + {\rm{ }}1;{\rm{ }}5{\rm{ }} + {\rm{ }}2} \right)\) hay \(A'\left( {0;{\rm{ }}7} \right).\)
Ảnh của điểm B(2; 3) qua phép biến hình f là điểm \(B'\left( {2{\rm{ }} + {\rm{ }}1;{\rm{ }}3{\rm{ }} + {\rm{ }}2} \right)\) hay \(B'\left( {3;{\rm{ }}5} \right).\)
Ảnh của điểm C(4; 0) qua phép biến hình f là điểm \(C'\left( {4{\rm{ }} + {\rm{ }}1;{\rm{ }}0{\rm{ }} + {\rm{ }}2} \right)\) hay \(C'\left( {5;{\rm{ }}2} \right).\)
b) Vì \(M\left( {{x_0};{\rm{ }}{y_0}} \right)\) thuộc \(\Delta :{\rm{ }}x{\rm{ }} + {\rm{ }}y{\rm{ }}-{\rm{ }}4{\rm{ }} = {\rm{ }}0\) nên \({x_0}\; + {\rm{ }}{y_0}\;-{\rm{ }}4{\rm{ }} = {\rm{ }}0\) hay \({x_0}\; + {\rm{ }}{y_{0\;}} = {\rm{ }}4\)
\(\begin{array}{*{20}{l}}{ \Leftrightarrow \;{x_0}\; + {\rm{ }}{y_0}\; + {\rm{ }}3{\rm{ }} = {\rm{ }}4{\rm{ }} + {\rm{ }}3}\\{ \Leftrightarrow \;\left( {{x_0}\; + {\rm{ }}1} \right){\rm{ }} + {\rm{ }}\left( {{y_{0\;}} + {\rm{ }}2} \right){\rm{ }} = {\rm{ }}7}\\{ \Leftrightarrow \;\left( {{x_0}\; + {\rm{ }}1} \right){\rm{ }} + {\rm{ }}\left( {{y_{0\;}} + {\rm{ }}2} \right){\rm{ }}-{\rm{ }}7{\rm{ }} = {\rm{ }}0}\end{array}\)
Suy ra \(M'\left( {{x_0}\; + {\rm{ }}1;{\rm{ }}{y_0}\; + {\rm{ }}2} \right)\) thuộc đường thẳng \(\Delta ':{\rm{ }}x{\rm{ }} + {\rm{ }}y{\rm{ }}-{\rm{ }}7{\rm{ }} = {\rm{ }}0.\)
Các bài tập cùng chuyên đề
Hoa và Hưng cùng chơi trò chơi sau: Hai bạn luân phiên nhau đặt các đồng xu có cùng kích thước lên trên một mặt mảnh giấy hình chữ nhật sao cho các xu nằm hoàn toàn trên mảnh giấy và xu đặt sau không chồng lên xu trước. Mỗi bạn, đến lượt mình được đặt một xu. Ai là người đầu tiên không còn chỗ để đặt xu là người thua cuộc.
Trong một lần chơi, là người đặt xu trước, Hoa đặt đồng xu đầu tiên tại vị trí O ở chính giữa mảnh giấy, và sau đó, ở mỗi lượt đặt xu, nếu Hưng đặt đồng xu ở vị trí M thì Hoa đặt ở vị trí M' đối xứng với M qua O. Hỏi trong lần chơi nói trên, ai là người thắng cuộc?
Quan sát ba tấm ảnh hoa hồng ở Hình 1.4, hãy cho biết hình nào giống ảnh của hình ở giữa qua một phép co về trục.
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho điểm I(1; 2). Xét phép biến hình f biến điểm I thành điểm I và biến mỗi điểm M khác I thành điểm M' sao cho I là trung điểm của MM'. Tìm tọa độ ảnh của điểm A(3; – 2) qua phép biến hình f.
Trong bảng quan sát quy luật điền các cặp (A, A'), (B, B'), (C, C'), ..., từ đó điền các kí hiệu N', P', Q', R', S' vào các vị trí thích hợp.
Trong mặt phẳng cho đường thẳng d và điểm M. Dựng hình chiếu vuông góc M' của điểm M lên đường thẳng d (Hình 2).
a) Có bao nhiêu hình chiếu vuông góc của điểm M trên đường thẳng d?
b) Có điểm nào của mặt phẳng không có hình chiếu vuông góc trên đường thẳng d hay không?
