Đề bài

Đoạn đường AB dài 180 km. Cùng một lúc xe máy đi từ A và ô tô đi từ B, xe máy gặp ô tô tại C cách A là 80 km. Nếu xe máy khởi hành sau ô tô 54 phút thì chúng gặp nhau tại D cách A là 60 km. Tính vận tốc của ô tô và xe máy.

Phương pháp giải

Gọi vận tốc của xe máy là x (km/h) (x > 0), vận tốc của ô tô là y (km/h) (y > 0).

Biểu diễn thời gian xe máy đi từ A đến C, thời gian ô tô đi từ B đến C để lập phương trình thứ nhất.

Biểu diễn thời gian xe máy đi từ A đến D, thời gian ô tô đi từ B đến D để lập phương trình thứ hai.

Từ đó ta lập được hệ phương trình.

Đặt $\frac{1}{x} = u;\frac{1}{y} = v$, hệ phương trình trở thành hệ phương trình hai ẩn u và v.

Giải hệ phương trình tìm u, v từ đó tính x, y.

Lời giải của GV Loigiaihay.com

Gọi vận tốc của xe máy là x (km/h) (x > 0), vận tốc của ô tô là y (km/h) (y > 0).

Thời gian xe máy đi từ A đến C là: $\frac{{80}}{x}$ (giờ)

Quãng đường ô tô đi từ B đến C là: 180 – 80 = 100 (km)

Thời gian ô tô đi từ B đến C là: $\frac{{100}}{y}$ (giờ)

Vì hai xe cùng xuất phát và gặp nhau tại C nên $\frac{{80}}{x} = \frac{{100}}{y}$ (1)

Thời gian xe máy đi từ A đến D là: $\frac{{60}}{x}$ (giờ)

Khoảng cách từ B đến D là: 180 – 60 = 120 (km)

Thời gian ô tô đi từ B đến D là: $\frac{{120}}{y}$ (giờ)

Vì xe máy khởi hành sau ô tô 54 phút = $\frac{9}{{10}}$ giờ nên $\frac{{60}}{x} = \frac{{120}}{y} - \frac{9}{{10}}$ (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình: $\left\{ \begin{array}{l}\frac{{80}}{x} = \frac{{100}}{y}\\\frac{{60}}{x} = \frac{{120}}{y} - \frac{9}{{10}}\end{array} \right.$

Đặt $\frac{1}{x} = u;\frac{1}{y} = v$, hệ phương trình trở thành:

$\left\{ \begin{array}{l}80u = 100v\\60u = 120v - \frac{9}{{10}}\end{array} \right.$ hay $\left\{ \begin{array}{l}80u - 100v = 0\\60u - 120v = - \frac{9}{{10}}\end{array} \right.$.

Giải hệ phương trình, ta được: $\left\{ \begin{array}{l}u = \frac{1}{{40}}\\v = \frac{1}{{50}}\end{array} \right.$

Suy ra $\left\{ \begin{array}{l}x = 40\\y = 50\end{array} \right.$.

Vậy vận tốc của xe máy là 40km/h, vận tốc của ô tô là 50km/h.

Mở rộng

Công thức chuyển động đều: Mối quan hệ giữa quãng đường (S), vận tốc (v) và thời gian (t) được biểu diễn bằng công thức: $S = v \times t$. Từ đó, có thể suy ra thời gian đi được là $t = \frac{S}{v}$ và vận tốc là $v = \frac{S}{t}$.

Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn: Bài toán này quy về việc giải một hệ phương trình bậc nhất hai ẩn. Một hệ phương trình là tập hợp các phương trình cần được giải đồng thời để tìm ra giá trị của các biến làm cho tất cả các phương trình đều đúng. Dạng tổng quát của một hệ phương trình bậc nhất hai ẩn là: $\left\{ \begin{array}{l}ax + by = c \\ a'x + b'y = c'\end{array} \right.$ Trong đó, x và y là các ẩn cần tìm, a, b, c, a', b', c' là các hệ số đã biết.

Phương pháp đặt ẩn phụ: Trong một số trường hợp, hệ phương trình có thể không trực tiếp là bậc nhất (ví dụ, ẩn nằm ở mẫu số như trong bài này $\frac{1}{x}, \frac{1}{y}$). Để giải quyết, người ta sử dụng phương pháp đặt ẩn phụ để biến đổi hệ phương trình về dạng quen thuộc hơn (hệ bậc nhất).

Dạng bài toán về chuyển động ngược chiều, xuôi chiều, hoặc có các điều kiện về thời gian khởi hành là dạng phổ biến trong toán học, thường được giải bằng cách lập hệ phương trình. Các bước chung như sau:

Bước 1: Đặt ẩn và điều kiện.

- Gọi các đại lượng cần tìm là ẩn (thường là vận tốc hoặc quãng đường). Ví dụ, vận tốc xe máy là $x$ (km/h), vận tốc ô tô là $y$ (km/h).

- Nêu rõ đơn vị và điều kiện của ẩn (ví dụ $x > 0, y > 0$).

Bước 2: Phân tích các trường hợp và biểu diễn các đại lượng.

- Đọc kỹ đề bài để xác định các tình huống chuyển động khác nhau (ví dụ: cùng xuất phát, xuất phát cách nhau một khoảng thời gian, gặp nhau tại các điểm khác nhau).

- Với mỗi tình huống, tính toán các quãng đường, thời gian tương ứng mà mỗi đối tượng đã đi. Sử dụng công thức $t = \frac{S}{v}$ để biểu diễn thời gian theo các ẩn đã đặt.

Bước 3: Lập hệ phương trình.

- Dựa vào các mối quan hệ về thời gian hoặc quãng đường trong mỗi tình huống (ví dụ: thời gian bằng nhau khi cùng xuất phát và gặp nhau, thời gian chênh lệch khi có sự khởi hành muộn hơn), thiết lập các phương trình.

- Số lượng phương trình bằng số lượng ẩn cần tìm để tạo thành một hệ phương trình giải được.

Bước 4: Giải hệ phương trình.

- Nếu hệ phương trình có ẩn nằm ở mẫu số (như $\frac{1}{x}, \frac{1}{y}$), hãy nghĩ đến việc đặt ẩn phụ để chuyển về hệ phương trình bậc nhất hai ẩn (ví dụ, đặt $u = \frac{1}{x}, v = \frac{1}{y}$).

- Sử dụng các phương pháp giải hệ phương trình như phương pháp thế, phương pháp cộng đại số, hoặc phương pháp đặt định thức Cramer để tìm ra giá trị của các ẩn phụ (nếu có).

- Sau đó, từ giá trị của ẩn phụ, suy ra giá trị của các ẩn ban đầu.

Bước 5: Kiểm tra điều kiện và kết luận.

- Kiểm tra xem các giá trị tìm được có thỏa mãn điều kiện ban đầu của ẩn hay không (ví dụ: vận tốc phải dương).

- Trình bày kết quả cuối cùng rõ ràng, có đơn vị.

Báo lỗi/Góp ý

Các bài tập cùng chuyên đề

Bài 1 :

Cho một số có hai chữ số . Nếu đổi chỗ hai chữ số của nó thì được một số lớn hơn số đã cho là $63$. Tổng của số đã cho và số mới tạo thành bằng $99$. Tổng các chữ số của số đó là

A.

$9$
B.

$8$
C.

$7$
D.

$6$