Cho tam giác ABC vuông tại A (AB < AC), đường cao AH (H \( \in \) BC). Tia phân giác của góc ABC cắt cạnh AC tại D. Trên cạnh BC lấy điểm M sao cho BM = BA.
a) Chứng minh \(\Delta ABD = \Delta MBD\) và \(DM \bot BC\).
b) Chứng minh \(\Delta DAM\) cân và AM là tia phân giác của góc HAC.
c) Chứng minh MC > MH.
a) Chứng minh \(\Delta ABD = \Delta MBD\) (c.g.c)
* Suy ra hai góc tương ứng bằng nhau, suy ra \(DM \bot BC\).
b) * Chứng minh \(\Delta DAM\) có DA = DM nên cân tại D.
* Chứng minh AH // DM suy ra \(\widehat {HAM} = \widehat {AMD}\) (hai góc so le trong)
Vì \(\Delta DAM\) cân nên \(\widehat {MAD} = \widehat {AMD}\)
Do đó \(\widehat {HAM} = \widehat {MAD}\) hay \(\widehat {HAM} = \widehat {MAC}\) nên AM là tia phân giác của góc HAC.
c) Kẻ MK \( \bot \) AC tại K.
Chứng minh \(\Delta AHM = \Delta AKM\) (cạnh huyền – góc nhọn)
Do đó \(MH = MK\) (hai cạnh tương ứng).
Chứng minh MC > MK
Suy ra MC > MH.
a) * Xét \(\Delta ABD\) và \(\Delta MBD\) có:
\(BA = BM\) (gt)
\(\widehat {ABD} = \widehat {MBD}\) (BD là tia phân giác của \(\widehat {ABM}\))
BD chung
Suy ra \(\Delta ABD = \Delta MBD\) (c.g.c)
* Suy ra \(\widehat {BAD} = \widehat {BMD} = 90^\circ \) (hai góc tương ứng), do đó \(DM \bot BM\) hay \(DM \bot BC\).
b) * Vì \(\Delta ABD = \Delta MBD\) (cmt) nên AD = DM, suy ra \(\Delta DAM\) cân tại D.
* Vì \(AH \bot BC,DM \bot BC\) nên AH // DM.
Suy ra \(\widehat {HAM} = \widehat {AMD}\) (hai góc so le trong)
Vì \(\Delta DAM\) cân tại D nên \(\widehat {MAD} = \widehat {AMD}\)
Do đó \(\widehat {HAM} = \widehat {MAD}\) hay \(\widehat {HAM} = \widehat {MAC}\) nên AM là tia phân giác của góc HAC.
c) Kẻ MK \( \bot \) AC tại K.
Xét \(\Delta AHM\) và \(\Delta AKM\) có:
\(\widehat {AHM} = \widehat {AKM}\left( { = 90^\circ } \right)\)
AM chung
\(\widehat {HAM} = \widehat {MAK}\) (AM là tia phân giác của \(\widehat {HAC}\))
Suy ra \(\Delta AHM = \Delta AKM\) (cạnh huyền – góc nhọn)
Do đó \(MH = MK\) (hai cạnh tương ứng).
Xét tam giác MKC vuông tại K nên MC > MK (cạnh huyền là cạnh lớn nhất trong tam giác)
Suy ra MC > MH.
Các bài tập cùng chuyên đề
Cho điểm M nằm bên trong tam giác ABC. Gọi N là giao điểm của đường thẳng AM và cạnh BC. (H.9.18)
a) So sánh MB với MN + NB, từ đó suy ra MA + MB < NA + NB
b) So sánh NA với CA + CN, từ đó suy ra NA + NB < CA + CB
c) Chứng minh MA + MB < CA + CB.
Gọi AI và AM lần lượt là đường cao và đường trung tuyến xuất phát từ đỉnh A của tam giác ABC. Chứng minh rằng
a) \(AI < \dfrac{1}{2}\left( {AB + AC} \right)\)
b) \(AM < \dfrac{1}{2}\left( {AB + AC} \right)\)
Một sợ dây thép dài 1,2m. Cần đánh dấu trên sợ dây thép đó hai điểm để khi uốn gập nó lại tại hai điểm đó sẽ tạo thành tam giác cân có một cạnh bằng 30 cm (h.9.54). Em hãy mô tả các cách đánh dấu hai điểm trên sợi dây thép.
Cho tam giác ABC có: \(\widehat A = 42^\circ ,\widehat B = 37^\circ \).
a) Tính \(\widehat C\).
b) So sánh độ dài các cạnh AB, BC, CA.
a) Sắp xếp theo thứ tự từ nhỏ đến lớn số đo các góc của tam giác PQR hinh 6a.
b) Sắp xếp theo thứ tự từ nhỏ đến lớn độ dài các cạnh của tam giác ABC ở hình 6b.
a) Cho tam giác DEF có góc F là góc tù. Theo em, cạnh nào là cạnh có độ dài lớn nhất trong ba cạnh của tam giác DEF.
b) Cho tam giác ABC vuông tại A. Theo em, cạnh nào là cạnh có độ dài lớn nhất trong ba cạnh của tam giác ABC?
a) Cho tam giác ABC có AB = 15 cm, BC = 8 cm. Tính độ dài cạnh AC, biết độ dài của nó (theo đơn vị xăng-ti-mét) là một số nguyên tố lớn hơn bình phương của 4.
b) Độ dài ba cạnh của tam giác MNP tỉ lệ với 2; 3; 4. Tính độ dài cạnh lớn nhất, biết tổng độ dài hai cạnh còn lại là 20 cm.
Tam giác ABC có AB = 2cm, BC = 3cm. Đặt CA = b (cm)
a) Chứng minh rằng 1 < b < 5
b) Giả sử rằng với 1 < b < 5, có tam giác ABC thoả mãn AB = 2cm, BC = 3 cm, CA = b (cm). Với mỗi tam giác đó, hãy sắp xếp ba góc A, B, C theo thứ tự từ bé đến lớn.
Cho tam giác MNP vuông tại M. Lấy I là trung điểm của MP.
a) Chứng minh: NM < NI < NP.
b) Trên tia đối của tia IN lấy điểm K sao cho IK = IN. Chứng minh MN = PK từ đó suy ra PK < NP.
c) So sánh \(\widehat {MNI}\) và \(\widehat {INP}\).
d) Từ I kẻ IH\( \bot \)NP. So sánh IM và IH.
