Đề bài

Hai đội công nhân cùng làm chung một công việc thì sau 15 ngày làm xong. Nếu đội thứ nhất làm riêng trong 3 ngày rồi dừng lại và đội thứ hai làm tiếp công việc đó trong 5 ngày thì cả hai đội hoàn thành được 25% công việc. Hỏi mỗi đội làm riêng thì bao nhiêu ngày mới hoàn thành xong công việc trên.

Phương pháp giải

Gọi thời gian để đội thứ nhất và đội thứ hai làm riêng một mình hoàn thành xong công việc lần lượt là x và y (x > 15, y > 15), đơn vị (ngày).

Biểu diễn lượng công việc một ngày đội thứ nhất, đội thứ hai làm được theo x, y.

Vì hai đội cùng làm trong 15 ngày thì hoàn thành xong công việc nên ta lập được phương trình biểu diễn năng suất của 2 đội trong một ngày.

Vì đội thứ nhất làm trong 3 ngày rồi dừng lại đội thứ hai làm tiếp trong 5 ngày thì cả hai đội hoàn thành xong $25\% = \frac{1}{4}$ (công việc) nên ta lập được phương trình thứ hai.

Từ hai phương trình, ta lập được hệ phương trình.

Giải hệ phương trình để tìm x, y.

Lời giải của GV Loigiaihay.com

Gọi thời gian để đội thứ nhất và đội thứ hai làm riêng một mình hoàn thành xong công việc lần lượt là x và y (x > 15, y > 15), đơn vị (ngày).

Khi đó, một ngày đội thứ nhất làm được $\frac{1}{x}$ (công việc).

một ngày đội thứ hai làm được $\frac{1}{y}$ (công việc).

Vì hai đội cùng làm trong 15 ngày thì hoàn thành xong công việc. Như vậy trong một ngày cả hai đội làm được $\frac{1}{15}$ (công việc). Suy ra, ta có phương trình: $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{15}$ (1).

Ba ngày đội đội thứ nhất làm được $\frac{3}{x}$ (công việc).

Năm ngày đội thứ hai làm được $\frac{5}{y}$ (công việc).

Vì đội thứ nhất làm trong 3 ngày rồi dừng lại đội thứ hai làm tiếp trong 5 ngày thì cả hai đội hoàn thành xong $25\% = \frac{1}{4}$ (công việc). Suy ra, ta có phương trình: $\frac{3}{x} + \frac{5}{y} = \frac{1}{4}$ (2).

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình: $\begin{cases} \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{15} \\ \frac{3}{x} + \frac{5}{y} = \frac{1}{4}\end{cases} $

Giải hệ phương trình, ta được: $\begin{cases}\frac{1}{x} = \frac{1}{24} \\\frac{1}{y} = \frac{1}{40}\end{cases}$ suy ra $\begin{cases}{x = 24}\\{y = 40}\end{cases}$. (TMĐK).

Vậy thời gian để đội thứ nhất làm riêng một mình hoàn thành xong công việc là 24 (ngày) và thời gian để đội thứ hai làm riêng một mình hoàn thành xong công việc là 40 (ngày).

Mở rộng

* Dạng bài tập này thuộc nhóm bài toán năng suất lao động hoặc công việc chung. Lý thuyết cơ bản tập trung vào mối quan hệ giữa công việc, năng suất và thời gian.

+ Năng suất: Là lượng công việc hoàn thành được trong một đơn vị thời gian (ví dụ: 1 ngày, 1 giờ).

+ Thời gian: Là tổng thời gian cần thiết để hoàn thành toàn bộ công việc.

+ Công việc: Thường được coi là một "đơn vị" hoàn chỉnh (tức là 1 hoặc 100%) khi công việc được hoàn thành xong.

Mối quan hệ cơ bản:

Nếu một đội (hoặc một người) hoàn thành công việc trong $T$ ngày, thì trong một ngày, đội đó làm được $\frac{1}{T}$ phần công việc. Đây chính là năng suất của đội đó.

Khi nhiều đội cùng làm chung một công việc, năng suất chung của họ bằng tổng năng suất của từng đội.

Tổng lượng công việc hoàn thành bằng năng suất nhân với thời gian. Ví dụ, nếu năng suất là $\frac{1}{T}$ công việc/ngày và làm trong $t$ ngày, thì lượng công việc hoàn thành là $\frac{t}{T}$ công việc.

* Xác định đúng mối quan hệ của bài toán để lập hệ phương trình

- Khi làm chung: Nếu các đối tượng làm chung trong $T_{chung}$ thời gian và hoàn thành toàn bộ công việc, thì tổng năng suất của họ bằng $\frac{1}{T_{chung}}$. Ví dụ: $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{T_{chung}}$.

- Khi làm riêng từng phần hoặc xen kẽ: Tính lượng công việc mà mỗi đối tượng đã làm trong khoảng thời gian cụ thể. Ví dụ: Đối tượng A làm trong $t_A$ thời gian, công việc hoàn thành là $\frac{t_A}{x}$. Đối tượng B làm trong $t_B$ thời gian, công việc hoàn thành là $\frac{t_B}{y}$.

Tổng hợp các lượng công việc đã làm để tạo thành phương trình theo tổng số công việc hoàn thành (ví dụ: $\frac{t_A}{x} + \frac{t_B}{y} = \text{phần công việc hoàn thành}$ (có thể là 1 nếu xong việc, hoặc một phân số khác nếu chỉ xong một phần).

Báo lỗi/Góp ý

Các bài tập cùng chuyên đề

Bài 1 :

Cho một số có hai chữ số . Nếu đổi chỗ hai chữ số của nó thì được một số lớn hơn số đã cho là $63$. Tổng của số đã cho và số mới tạo thành bằng $99$. Tổng các chữ số của số đó là

A.

$9$
B.

$8$
C.

$7$
D.

$6$