Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho 2 đường thẳng $d:\dfrac{{x - 2}}{{ - 3}} = \dfrac{{y + 2}}{1} = \dfrac{{z + 1}}{{ - 2}}$ và $d':\dfrac{x}{6} = \dfrac{{y - 4}}{{ - 2}} = \dfrac{{z - 2}}{4}$. Mệnh đề nào sau đây là đúng?
-
A.
$d//d'$.
-
B.
$d \equiv d'$.
-
C.
$d$ và $d'$ cắt nhau.
-
D.
$d$ và $d'$ chéo nhau.
- Xác định vị trí tương đối giữa hai đường thẳng trong không gian.
- Trong không gian cho 2 đường thẳng: ${d_1}$ qua ${M_1}$ và có VTCP $\overrightarrow {{u_1}} ,{d_2}$ qua ${M_2}$ và có VTCP $\overrightarrow {{u_2}} $;
Khi đó giữa 2 đường thẳng có các vị trí tương đối như sau:
+) ${d_1} \equiv {d_2} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right] = \overrightarrow 0 \\\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{M_1}{M_2}} } \right] = \overrightarrow 0 \end{array} \right.$
+) ${d_1}//{d_2} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right] = \overrightarrow 0 \\\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{M_1}{M_2}} } \right] \ne \overrightarrow 0 \end{array} \right.$
+) ${d_1}$ và ${d_2}$ cắt nhau $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right] \ne \overrightarrow 0 \\\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right]\overrightarrow {.{M_1}{M_2}} = 0\end{array} \right.$
+) ${d_1}$ và ${d_2}$ chéo nhau $ \Leftrightarrow \left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right]\overrightarrow {.{M_1}{M_2}} \ne 0$
Ta có:
$\begin{array}{l}\overrightarrow {{u_d}} ( - 3;1; - 2);\overrightarrow {{u_{d'}}} (6; - 2;4) \Rightarrow \overrightarrow {{u_{d'}}} = - 2\overrightarrow {{u_d}} \\A(2; - 2; - 1) \in d; \notin d'\\ \Rightarrow d//d'\end{array}$
Đáp án : A
Các bài tập cùng chuyên đề
Cho \(d,d'\) là các đường thẳng có VTCP lần lượt là \(\overrightarrow u ,\overrightarrow {u'} ,M \in d,M' \in d'\). Khi đó \(d \equiv d'\) nếu:
-
A.
\(\left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow {u'} } \right] = \overrightarrow 0 \)
-
B.
\(\left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow {u'} } \right] = \left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow {MM'} } \right]\)
-
C.
\(\left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow {u'} } \right] = \left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow {MM'} } \right] = \overrightarrow 0 \)
-
D.
\(\left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow {u'} } \right] \ne \left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow {MM'} } \right]\)
Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), cho hai đường thẳng \({d_1}:\left\{ \begin{array}{l}x = - 1 + 3t\\y = - t\\z = 1 - 2t\end{array} \right.\) và \({d_2}:\dfrac{{x - 1}}{{ - 3}} = \dfrac{{y - 2}}{1} = \dfrac{{z - 3}}{2}\).
Vị trí tương đối của \({d_1}\) và \({d_2}\) là:
-
A.
Song song.
-
B.
Trùng nhau.
-
C.
Cắt nhau.
-
D.
Chéo nhau.
Điều kiện cần và đủ để hai đường thẳng cắt nhau là:
-
A.
\(\left\{ \begin{array}{l}\left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow {u'} } \right] \ne \overrightarrow 0 \\\left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow {u'} } \right]\overrightarrow {MM'} = 0\end{array} \right.\)
-
B.
\(\left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow {u'} } \right] \ne \overrightarrow 0 \)
-
C.
\(\left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow {u'} } \right]\overrightarrow {MM'} = 0\)
-
D.
\(\left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow {u'} } \right] = \overrightarrow 0 \)
Cho \(d,d'\) là các đường thẳng có VTCP lần lượt là \(\overrightarrow u ,\overrightarrow {u'} ,M \in d,M' \in d'\). Nếu \(\left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow {u'} } \right]\overrightarrow {MM'} \ne 0\) thì:
-
A.
\(d//d'\)
-
B.
\(d \equiv d'\)
-
C.
\(d\) cắt \(d'\)
-
D.
\(d\) chéo \(d'\)
Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), cho hai đường thẳng
\({d_1}:\dfrac{{x - 3}}{1} = \dfrac{{y - 2}}{2} = \dfrac{{z - 1}}{1}\) và \({d_2}:\left\{ \begin{array}{l}x = t\\y = 2\\z = 2 + t\end{array} \right.\).
Vị trí tương đối của \({d_1}\) và \({d_2}\) là:
-
A.
Song song.
-
B.
Trùng nhau.
-
C.
Cắt nhau.
-
D.
Chéo nhau.
Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), cho đường thẳng \(d:\left\{ \begin{array}{l}x = - 1 + 2t\\y = - t\\z = - 2 - t\end{array} \right.\). Trong các đường thẳng sau, đường thẳng nào vuông góc với \(d\)?
-
A.
\({d_1}:\left\{ \begin{array}{l}x = 3t\\y = 1 + t\\z = 5t\end{array} \right.\).
-
B.
\({d_2}:\left\{ \begin{array}{l}x = 2\\y = 2 + t\\z = 1 + t\end{array} \right.\).
-
C.
\({d_3}:\dfrac{{x - 2}}{3} = \dfrac{y}{2} = \dfrac{{z - 1}}{{ - 5}}\).
-
D.
\({d_4}:\dfrac{{x + 2}}{2} = \dfrac{y}{{ - 1}} = \dfrac{{z + 1}}{2}\).
Công thức tính khoảng cách từ điểm \(A\) đến đường thẳng \(d'\) đi qua điểm \(M'\) và có VTCP \(\overrightarrow {u'} \) là:
-
A.
\(d\left( {A,d'} \right) = \dfrac{{\left| {\left[ {\overrightarrow {AM'} ,\overrightarrow {u'} } \right]} \right|}}{{\left| {\overrightarrow {u'} } \right|}}\)
-
B.
\(d\left( {A,d'} \right) = \dfrac{{\left| {\left[ {\overrightarrow {AM'} ,\overrightarrow {u'} } \right]} \right|}}{{\overrightarrow {u'} }}\)
-
C.
\(d\left( {A,d'} \right) = \dfrac{{\left[ {\overrightarrow {AM'} ,\overrightarrow {u'} } \right]}}{{\overrightarrow {u'} }}\)
-
D.
\(d\left( {A,d'} \right) = \dfrac{{\left| {\overrightarrow {AM'} .\overrightarrow {u'} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {u'} } \right|}}\)
Khoảng cách từ điểm \(M\left( {2;0;1} \right)\) đến đường thẳng $\Delta :\dfrac{{x - 1}}{1} = \dfrac{y}{2} = \dfrac{{z - 2}}{1}$ là:
-
A.
\(\sqrt 2 \)
-
B.
\(\sqrt 3 \)
-
C.
\(2\sqrt 3 \)
-
D.
\(\dfrac{5}{{\sqrt {17} }}\)
Cho hai điểm \(A\left( {1; - 2;0} \right),B\left( {0;1;1} \right)\), độ dài đường cao \(OH\) của tam giác \(OAB\) là:
-
A.
\(3\sqrt {19} \)
-
B.
\(\dfrac{{3\sqrt {19} }}{{13}}\)
-
C.
\(\sqrt 6 \)
-
D.
\(\dfrac{{\sqrt {66} }}{{11}}\)
Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), cho hai đường thẳng
\({d_1}:\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + t\\y = 0\\z = - 5 + t\end{array} \right.\) và \({d_2}:\left\{ \begin{array}{l}x = 0\\y = 4 - 2t'\\z = 5 + 3t'\end{array} \right.\).
Phương trình đường vuông góc chung của \({d_1}\) và \({d_2}\) là:
-
A.
\(\dfrac{{x - 4}}{2} = \dfrac{y}{{ - 3}} = \dfrac{{z - 2}}{{ - 2}}\)
-
B.
\(\left\{ \begin{array}{l}x = 4 - t\\y = 3t\\z = - 2 + t\end{array} \right.\)
-
C.
\(\dfrac{{x + 4}}{{ - 2}} = \dfrac{y}{3} = \dfrac{{z - 2}}{2}\)
-
D.
\(\dfrac{{x - 4}}{{ - 2}} = \dfrac{y}{3} = \dfrac{{z + 2}}{2}\)
Cho hai đường thẳng \(\Delta ,\Delta '\) có VTCP lần lượt là \(\overrightarrow u ,\overrightarrow {u'} \) và đi qua các điểm \(M,M'\). Khi đó:
-
A.
\(d\left( {\Delta ,\Delta '} \right) = \dfrac{{\left| {\left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow {u'} } \right].\overrightarrow {MM'} } \right|}}{{\left| {\left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow {u'} } \right]} \right|}}\)
-
B.
\(d\left( {\Delta ,\Delta '} \right) = \dfrac{{\left| {\left[ {\overrightarrow {MM'} ,\overrightarrow {u'} } \right].\overrightarrow u } \right|}}{{\left| {\left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow {u'} } \right]} \right|}}\)
-
C.
\(d\left( {\Delta ,\Delta '} \right) = \dfrac{{\left| {\left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow {u'} } \right].\overrightarrow {MM'} } \right|}}{{\left| {\left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow {MM'} } \right]} \right|}}\)
-
D.
\(d\left( {\Delta ,\Delta '} \right) = \dfrac{{\left| {\left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow {u'} } \right].\overrightarrow {MM'} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {MM'} } \right|}}\)
Khoảng cách giữa hai đường thẳng \({d_1}:\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + 2t\\y = - 1 + t\\z = 1\end{array} \right.,{d_2}:\left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = 1 + t\\z = 3 - t\end{array} \right.\) là:
-
A.
\(9\)
-
B.
\(3\)
-
C.
\(\dfrac{1}{3}\)
-
D.
\(1\)
Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), cho hai đường thẳng
\({d_1}:\dfrac{{x - 2}}{2} = \dfrac{{y + 2}}{{ - 1}} = \dfrac{{z - 3}}{1}\), \({d_2}:\left\{ \begin{array}{l}x = 1 - t\\y = 1 + 2t\\z = - 1 + t\end{array} \right.\) và điểm \(A\left( {1;2;3} \right)\).
Đường thẳng \(\Delta \) qua \(A\), vuông góc với \({d_1}\) và cắt \({d_2}\) có phương trình là:
-
A.
\(\dfrac{{x - 1}}{1} = \dfrac{{y - 2}}{{ - 3}} = \dfrac{{z - 3}}{{ - 5}}\)
-
B.
\(\dfrac{{x - 1}}{{ - 1}} = \dfrac{{y - 2}}{{ - 3}} = \dfrac{{z - 3}}{{ - 5}}\)
-
C.
\(\dfrac{{x - 1}}{1} = \dfrac{{y - 2}}{3} = \dfrac{{z - 3}}{5}\)
-
D.
\(\dfrac{{x - 1}}{1} = \dfrac{{y - 2}}{3} = \dfrac{{z - 3}}{{ - 5}}\)
Góc giữa hai đường thẳng có các VTCP lần lượt là \(\overrightarrow u ,\overrightarrow {u'} \) thỏa mãn:
-
A.
$\cos \varphi = \dfrac{{\left| {\overrightarrow u .\overrightarrow {u'} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow u } \right|.\left| {\overrightarrow {u'} } \right|}}$
-
B.
$\cos \varphi = \dfrac{{\overrightarrow u .\overrightarrow {u'} }}{{\left| {\overrightarrow u } \right|.\left| {\overrightarrow {u'} } \right|}}$
-
C.
$\cos \varphi = - \dfrac{{\overrightarrow u .\overrightarrow {u'} }}{{\left| {\overrightarrow u } \right|.\left| {\overrightarrow {u'} } \right|}}$
-
D.
$\cos \varphi = - \dfrac{{\left| {\overrightarrow u .\overrightarrow {u'} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow u } \right|.\left| {\overrightarrow {u'} } \right|}}$
Cho hình lập phương \(A\left( {0;0;0} \right),B\left( {1;0;0} \right),D\left( {0;1;0} \right),A'\left( {0;0;1} \right)\). Gọi \(M,N\) lần lượt là trung điểm của \(AB,CD\). Khoảng cách giữa \(MN\) và \(A'C\) là:
-
A.
\(\dfrac{1}{{\sqrt 2 }}\)
-
B.
\(\dfrac{{\sqrt 2 }}{4}\)
-
C.
\(\dfrac{1}{2}\)
-
D.
\(\dfrac{3}{{\sqrt 2 }}\)
Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), cho các điểm \(A\left( {0;0;2} \right)\), \(B\left( {1;0;0} \right)\), \(C\left( {2;2;0} \right)\) và \(D\left( {0;m;0} \right)\). Điều kiện cần và đủ của \(m\) để khoảng cách giữa hai đường thẳng \(AB\) và \(CD\) bằng \(2\) là:
-
A.
\(\left[ \begin{array}{l}m = 4\\m = - 2\end{array} \right.\).
-
B.
\(\left[ \begin{array}{l}m = - 4\\m = 2\end{array} \right.\).
-
C.
\(\left[ \begin{array}{l}m = 4\\m = 2\end{array} \right.\).
-
D.
\(\left[ \begin{array}{l}m = - 4\\m = - 2\end{array} \right.\).
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho đường thẳng $d$ có phương trình \(\dfrac{{x - 1}}{3} = \dfrac{{y + 2}}{2} = \dfrac{{z - 3}}{{ - 4}}\) và \(d':\dfrac{{x + 1}}{4} = \dfrac{y}{1} = \dfrac{{z + 1}}{2}\) . Điểm nào sau đây không thuộc đường thẳng $d$ nhưng thuộc đường thẳng \(d'\)?
-
A.
$N(4;0; - 1)$
-
B.
$M(1; - 2;3)$ .
-
C.
$P(7;2;1)$ .
-
D.
$Q(7;2;3)$
Giao điểm của hai đường thẳng \(d:\left\{ \begin{array}{l}x = - 3 + 2t\\y = - 2 + 3t\\z = 6 + 4t\end{array} \right.\) và \(d':\left\{ \begin{array}{l}x = 5 + t'\\y = - 1 - 4t'\\z = 20 + t'\end{array} \right.\) có tọa độ là
-
A.
\((5; - 1;20)\)
-
B.
\((3; - 2;1)\)
-
C.
\((3;7;18)\)
-
D.
\(( - 3; - 2;6)\)
Trong không gian với hệ toạ độ $Oxyz$, cho đường thẳng \(d:\dfrac{{x - 3}}{2} = \dfrac{{y + 1}}{1} = \dfrac{{z - 1}}{2}\) và điểm $M(1;2;-3)$. Toạ độ hình chiếu vuông góc của điểm $M$ lên đường thẳng $d$ là
-
A.
\(M'(1;2; - 1)\)
-
B.
\(M'(1; - 2;1)\)
-
C.
\(M'(1; - 2; - 1)\)
-
D.
\(M'(1;2;1)\)
Trong không gian \(Oxyz\), cho đường thẳng \({d_1}:\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + t\\y = 2 + t\\z = 3\end{array} \right.\) và \({d_2}:\left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = 2 + 7t\\z = 3 + t\end{array} \right.\). Phương trình đường phân giác của góc nhọn giữa \({d_1}\) và \({d_2}\) là:
-
A.
\(\dfrac{{x - 1}}{5} = \dfrac{{y - 2}}{{ - 12}} = \dfrac{{z - 3}}{1}\).
-
B.
\(\dfrac{{x - 1}}{{ - 5}} = \dfrac{{y - 2}}{{12}} = \dfrac{{z - 3}}{1}\).
-
C.
\(\dfrac{{x - 1}}{5} = \dfrac{{y - 2}}{{12}} = \dfrac{{z - 3}}{{ - 1}}\).
-
D.
\(\dfrac{{x - 1}}{5} = \dfrac{{y - 2}}{{12}} = \dfrac{{z - 3}}{1}\).
