Trong không gian với hệ toạ độ $Oxyz$, cho đường thẳng \(d:\dfrac{{x - 3}}{2} = \dfrac{{y + 1}}{1} = \dfrac{{z - 1}}{2}\) và điểm $M(1;2;-3)$. Toạ độ hình chiếu vuông góc của điểm $M$  lên đường thẳng $d$ là

Gọi \(M'\) là hình chiếu của \(M\) trên  \(d\).

$d$ có vectơ chỉ phương \({\vec u_d} = (2;1;2)\).

\(M'(3 + 2t; - 1 + t;1 + 2t) \Rightarrow \overrightarrow {MM'}  = (2 + 2t; - 3 + t;4 + 2t)\)

Tacó\(MM' \bot d\) nên

\(\overrightarrow {MM'} .{\vec u_d} = 0 \Leftrightarrow (2 + 2t).2 + ( - 3 + t).1 + (4 + 2t).2 = 0 \Leftrightarrow 9t + 9 = 0 \Leftrightarrow t =  - 1 \)

$\Rightarrow M'(1; - 2; - 1)$.