Cho hai tiếp tuyến MA và MB của đường tròn (O). Gọi N là điểm sao cho MANB là một hình bình hành.
a) Giả sử N không nằm trên (O), NA và NB cắt (O) lần lượt tại D và C.
- Chứng minh rằng ABC là tam giác cân tại đỉnh A.
- Chứng minh rằng hai cung BC và AD có số đo bằng nhau.
b) Giả sử N nằm trên (O).
- Chứng minh rằng MAB là tam giác đều.
- Tính độ dài cung AB và diện tích của hình quạt tròn ứng với cung AB, biết rằng đường tròn (O) có bán kính bằng 6cm.
a) + Gọi E là giao điểm của AO và BC. Chứng minh \(OE \bot BC\).
+ Chứng minh tam giác BOC cân tại O, suy ra OE là đường cao đồng thời là đường trung trực của BC. Từ đó chứng minh được \(AB = AC\) nên tam giác ABC cân tại A.
+ Chứng minh tương tự, tam giác ADB cân tại B.
+ Chứng minh \(\widehat {BAC} = \widehat {{B_1}}\), từ đó chứng minh được sđ$\overset\frown{BC}$=sđ$\overset\frown{AD}$.
b) + Gọi E là giao điểm của AO và BN.
+ Chứng minh hình bình hành AMBN là hình thoi, suy ra \(AN = BN\) (1).
+ Chứng minh \(OE \bot BN\), chứng minh tam giác OBN cân tại O nên OE là đường cao đồng thời là đường trung trực của BN, từ đó chứng minh được\(AB = AN\) (2).
+ Từ (1) và (2) chứng minh được tam giác ABN đều. Do đó, tam giác MAB đều.
+ Chứng minh được sđ$\overset\frown{AB}$nhỏ \( = 2\widehat {ANB} = {120^o}\) từ đó tính được độ dài cung AB và diện tích của hình quạt tròn ứng với cung AB.
a) Gọi E là giao điểm của AO và BC.
Vì MA là tiếp tuyến của (O) nên \(MA \bot AE\), BC//MA (do MANB là hình bình hành) nên \(AE \bot BC\) hay \(OE \bot BC\).
Tam giác OBC có: \(OB = OC\) nên tam giác BOC cân tại O, do đó OE là đường cao đồng thời là đường trung trực của BC. Mà A thuộc đường thẳng OE nên \(AB = AC\). Do đó, ABC là tam giác cân tại A.
Chứng minh tương tự ta có tam giác ADB cân tại B.
Ta có: \(\widehat {{D_1}} = \widehat {{C_1}}\) (góc nội tiếp đường tròn (O) cùng chắn cung nhỏ AB). Tức là hai tam giác cân ABC và BAD có các góc ở đáy bằng nhau. Do đó, hai góc ở đỉnh cũng bằng nhau. Suy ra \(\widehat {BAC} = \widehat {{B_1}}\).
Mà BAC là góc nội tiếp, BOC là góc ở tâm cùng chắn cung BC nên ta có sđ$\overset\frown{BC}=\widehat{BOC}=2\widehat{BAC}$.
Tương tự ta có: sđ$\overset\frown{AD}=\widehat{AOD}=2\widehat{{{B}_{1}}}$.
Do đó, sđ$\overset\frown{BC}$=sđ$\overset\frown{AD}$.
b) Gọi E là giao điểm của AO và BN.
Vì MA, MB là hai tiếp tuyến cắt nhau của (O) nên \(MA = MB\). Do đó, hình bình hành AMBN là hình thoi, suy ra \(AN = BN\) (1).
Vì MA//BN và \(AO \bot AM\) (do MA là tiếp tuyến của (O)) nên \(AO \bot BN\) hay \(OE \bot BN\).
Tam giác OBN có: \(OB = ON\) nên tam giác OBN cân tại O. Do đó, OE là đường cao đồng thời là đường trung trực của BN. Vì A thuộc đường thẳng OE nên \(AB = AN\) (2).
Từ (1) và (2) ta có: \(AN = BN = AB\) nên NAB là tam giác đều. Do đó, tam giác MAB đều.
Suy ra \(\widehat {ANB} = {60^o}\). Vì góc nội tiếp ANB chắn cung nhỏ AB của (O) nên sđ$\overset\frown{AB}$nhỏ \( = 2\widehat {ANB} = {120^o}\).
Độ dài cung nhỏ AB là: \({l_{AB}} = \frac{{120.6.\pi }}{{180}} = 4\pi \left( {cm} \right)\).
Diện tích hình quạt tròn ứng với cung AB là: \({S_{AB}} = \frac{{120}}{{360}}{.6^2}.\pi = 12\pi \left( {c{m^2}} \right)\).
Các bài tập cùng chuyên đề
Những khẳng định nào sau đây là đúng?
a) Hai góc nội tiếp bằng nhau thì cùng chắn một cung.
b) Góc nội tiếp nhỏ hơn \({90^o}\) có số đo bằng nửa số đo của góc ở tâm cùng chắn một cung.
c) Góc nội tiếp chắn cung nhỏ có số đo bằng số đo của góc ở tâm cùng chắn một cung.
d) Hai góc nội tiếp bằng nhau thì chắn hai cung bằng nhau.
Cho đường tròn (O) và hai dây cung AB, CD cắt nhau tại điểm I nằm trong (O) (H.9.9).
a) Biết rằng \(\widehat {AOC} = {60^o},\widehat {BOD} = {80^o}\). Tính số đo của góc AID.
b) Chứng minh rằng \(IA.IB = IC.ID\).
Cho đường tròn (O), đường kính AB và điểm S nằm ngoài (O). Cho hai đường thẳng SA, SB lần lượt cắt (O) tại M (khác A), N (khác B). Gọi P là giao điểm của BM và AN (H.9.10). Chứng minh rằng SP vuông góc với AB.
Trên sân bóng, khi trái bóng được đặt tại điểm phạt đền thì có góc sút bằng \({36^o}\) và trái bóng cách mỗi cọc gôn 11,6m (H.9.11). Hỏi khi trái bóng đặt ở vị trí cách điểm phạt đền 11,6m thì góc sút bằng bao nhiêu?
Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. Góc nội tiếp có số đo bằng số đo cung bị chắn.
B. Góc có hai cạnh chứa các dây cung của đường tròn là góc nội tiếp đường tròn đó.
C. Góc nội tiếp có số đo bằng một nửa số đo cung bị chắn.
D. Góc có đỉnh nằm trên đường tròn là góc nội tiếp đường tròn đó.
Cho tam giác ABC có ba đỉnh nằm trên đường tròn (O) và AH là đường cao. Đường thẳng AO cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai D. Chứng minh rằng
a) AC vuông góc với DC
b) \(\widehat {ABC} = \widehat {ADC}\)
c) AB. AC = AH. AD
Quan sát Hình 62, hãy cho biết:
a) 6 góc ở tâm có hai cạnh lần lượt chứa hai trong bốn điểm \(A,B,C,D\);
b) 4 góc nội tiếp có hai cạnh lần lượt chứa ba điểm trong bốn điểm.
Trong Hình 63, cho biết \(AB = OA\).
a) Tính số đo góc \(AOB\).
b) Tính số đo cung nhỏ \(AB\) và cung lớn \(AB\) của \(\left( O \right)\).
c) Tính số đo góc \(MIN\).
d) Tính số đo cung nhỏ \(MN\) và cung lớn \(MN\) của \(\left( I \right)\).
e) Tính số đo góc \(MKN\).
Trong Hình 92, cho các điểm \(A,B,C,D,E\) thuộc đường tròn \(\left( O \right)\).
a) Số đo góc \(BOC\) là:
A. \(\alpha \)
B. \(2\alpha \)
C. \(180^\circ - \alpha \)
B. \(180^\circ - 2\alpha \)
b) Số đo góc \(BDC\) là:
A. \(\alpha \)
B. \(\frac{\alpha }{2}\)
C. \(180^\circ - \alpha \)
D. \(180^\circ - \frac{\alpha }{2}\)
c) Số đo góc \(BEC\) là:
A. \(\alpha \)
B. \(2\alpha \)
C. \(180^\circ - \alpha \)
D. \(360^\circ - \alpha \)
Tính số đo các góc ANB, AOB và cung lớn AB trong Hình 5.68.
Trong Hình 5.73, bốn cạnh của tứ giác ABCD tiếp xúc với đường tròn (O). Chứng minh rằng \(AD + BC = AB + CD\).
Cho tam giác đều \(ABC\) nằm trên đường tròn \((O)\). Trên cung $\overset\frown{BC}$ không chứa \(A\) ta lấy điểm \(P\) bất kỳ (\(P\) khác \(B\) và \(P\) khác \(C\)). Các đoạn \(PA\) và \(BC\) cắt nhau tại \(Q\) (Như hình vẽ)
Cho đường tròn (O) có đường kính BC = 5cm và điểm A thuộc đường tròn sao cho A khác B, C. Tiếp tuyến với đường tròn $(O)$ tại $C$ cắt tia phân giác trong của $\widehat{ABC}$ tại $K$ (như hình vẽ).
Xét trong một đường tròn, khẳng định nào dưới đây là không đúng?
A. Hai góc nội tiếp bằng nhau chắn hai cung bằng nhau.
B. Hai góc ở tâm bằng nhau chắn hai cung bằng nhau.
C. Góc nội tiếp có số đo bằng góc ở tâm chắn cùng một cung.
D. Góc nội tiếp có số đo bằng nửa số đo cung bị chắn.
Xét trong một đường tròn, những câu nào dưới đây là đúng?
a) Hai góc nội tiếp bằng nhau chắn hai cung bằng nhau.
b) Hai góc ở tâm bằng nhau chắn hai cung bằng nhau.
c) Góc ở tâm có số đo bằng góc nội tiếp chắn cùng một cung.
d) Góc nội tiếp có số đo bằng số đo cung bị chắn.
