Đề bài

Người ta chia đường tròn (O; R) thành 6 cung bằng nhau như sau:

– Trên đường tròn (O; R), lấy điểm A tuỳ ý;

– Vẽ một phần đường tròn (A; R) cắt (O; R) tại B và C;

– Vẽ một phần đường tròn (C; R) cắt (O; R) tại E (khác A);

– Vẽ một phần đường tròn (E; R) cắt (O; R) tại F (khác C);

– Vẽ một phần đường tròn (F; R) cắt (O; R) tại D (khác E).

Nối A với B, B với D, D với F, F với E, E với C, C với A, ta được lục giác ABDFEC.

Chứng minh:

a) Lục giác ABDFEC là lục giác đều;

b) AF, BE, CD là các đường kính của đường tròn (O; R);

c) Các tứ giác ACEF, ABDC, BECA đều là hình thang cân.

Phương pháp giải

Dựa vào đa giác đều là đa giác có tất cả các cạnh bằng nhau và tất cả các góc bằng nhau.

Chứng minh ba đường chéo AF, BE, CD cắt nhau tại O suy ra AF, BE, CD là các đường kính của đường tròn (O; R).

Chứng minh các tư giác là hình thang có hai góc kề một đáy là hình thang cân.

Lời giải của GV Loigiaihay.com

a) Nối OA, OB, OC, OD, OE, OF.

Từ giả thiết ta có sáu cung AB, AC, CE, EF, FD, DB bằng nhau nên

\(\widehat {AOB} = \widehat {AOC} = \widehat {COE} = \widehat {EOF} = \widehat {FOD} = \widehat {DOB}\).

Xét ∆AOB và ∆BOD có:

OA = OB; \(\widehat {AOB} = \widehat {BOD}\); OB = OD.

Do đó ∆AOB = ∆BOD (c.g.c), suy ra AB = BD (hai cạnh tương ứng).

Mặt khác, ta có AB = AC = CE = EF = FD = R.

Nên AB = AC = CE = EF = FD = DB. (1)

Ta có \(\widehat {AOB} = \widehat {AOC} = \widehat {COE} = \widehat {EOF} = \widehat {FOD} = \widehat {DOB} = {360^o}\)

Suy ra \(6\widehat {AOB} = {360^o}\), do đó \(\widehat {AOB} = {60^o}\).

Xét ∆AOB có OA = OB và \(\widehat {AOB} = {60^o}\) nên ∆AOB là tam giác đều.

Do đó \(\widehat {OAB} = {60^o}\).

Chứng minh tương tự, ta cũng có ∆OAC đều nên \(\widehat {OAC} = {60^o}\).

Khi đó, \(\widehat {BAC} = \widehat {OAB} + \widehat {OAC} = {60^o} + {60^o} = {120^o}\).

Tương tự, ta chứng minh được:

\(\widehat {BAC} = \widehat {ACE} = \widehat {CEF} = \widehat {EFD} = \widehat {FDB} = \widehat {DBA} = {120^o}\). (2)

Từ (1) và (2) ta có ABDFEC là lục giác đều.

b) Do ABDFEC là lục giác đều nên ba đường chéo AF, BE, CD cắt nhau tại O.

Do đó AF, BE, CD là các đường kính của đường tròn (O; R).

c) Chứng minh tương tự ở câu a, ta chứng minh được ∆AOC, ∆OCE là các tam giác đều. Suy ra \(\widehat {AOC} = \widehat {OCE} = {60^o}\).

Mà hai góc này ở vị trí so le trong nên AO // CE hay AF // CE.

Tứ giác ACEF có AF // CE nên là hình thang.

Lại có \(\widehat {ACE} = \widehat {FEC} = {120^o}\) nên ACEF là hình thang cân.

Chứng minh tương tự, ta cũng có các tứ giác ABDC, BECA đều là hình thang cân.

Xem thêm : SBT Toán 9 - Cánh diều

Báo lỗi/Góp ý

Các bài tập cùng chuyên đề

Bài 1 :

Ta đã biết các tam giác đều và hình vuông có các đỉnh nằm trên một đường tròn. Ta dựng một đa giác lồi 5 cạnh có các đỉnh nằm trên một đường tròn như sau:

- Vẽ đường tròn tâm O bán kính R.

- Lần lượt lấy các điểm A, B, C, D, E trên đường tròn theo thứ tự ngược chiều kim đồng hồ (hoặc theo chiều kim đồng hồ) sao cho: \(\widehat {AOB} = \widehat {BOC} = \widehat {COD} = \widehat {DOE} = \widehat {EOA} = \frac{{{{360}^o}}}{5} = {72^o}\).

Em hãy giải thích vì sao các cạnh và các góc của đa giác ABCDE bằng nhau (H.9.39).