Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số \(m\) để hàm số \(y = {x^8} + \left( {m - 2} \right){x^5} - \left( {{m^2} - 4} \right){x^4} + 1\) đạt cực tiểu tại \(x = 0\)?
-
A.
\(3.\)
-
B.
\(5\)
-
C.
\(4\)
-
D.
Vô số.
Hàm số đạt cực tiểu tại \(x = 0 \Leftrightarrow y'\) có nghiệm \(x = 0\) và \(y'\) đổi dấu từ âm sang dương qua nghiệm \(x = 0\)
Ta có \(y' = {x^3}\left[ {8{x^4} + 5x\left( {m - 2} \right) - 4\left( {{m^2} - 4} \right)} \right] = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\g\left( x \right) = 8{x^4} + 5x\left( {m - 2} \right) - 4\left( {{m^2} - 4} \right) = 0\end{array} \right.\)
Do \(x = 0\) là một nghiệm của đạo hàm nên hàm số đạt cực tiểu tại \(x = 0 \Leftrightarrow y'\) đổi dấu từ \( - \) sang \( + \) khi qua nghiệm \(x = 0\)
*) TH1: \(x = 0\) là nghiệm của \(g\left( x \right)\) hay \(m = \pm 2\)
Với $m{\rm{ }} = {\rm{ }}2$ thì $g\left( x \right) = 0$ có nghiệm $x = 0$ bội $4$ theo kết quả ở trên thì $x{\rm{ }} = {\rm{ }}0$ là nghiệm bội $7$ của $y'$ nên $x{\rm{ }} = {\rm{ }}0$ là điểm cực tiểu của hàm số nên chọn $m{\rm{ }} = {\rm{ }}2.$
Với $m = - 2$ thì $g\left( x \right)$ có nghiệm $x{\rm{ }} = {\rm{ }}0$ và 1 nghiệm dương, lúc này $x{\rm{ }} = {\rm{ }}0$ là nghiệm bội \(4\) của \(f'\left( x \right)\) nên \(x = 0\) không là điểm cực trị của hàm số. Loại $m{\rm{ }} = {\rm{ }} - {\rm{ }}2.$
*) TH2: \(x = 0\) không là nghiệm của \(g\left( x \right)\) hay $m \ne \pm 2$. Ta có \(g\left( 0 \right) = - 4\left( {{m^2} - 4} \right)\).
\(y' = {x^3}g\left( x \right)\) đổi dấu từ \( - \) sang \( + \) qua nghiệm \(x = 0\) khi và chỉ khi \(\left\{ \begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} g\left( x \right) > 0\\\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} g\left( x \right) > 0\end{array} \right.\)
\( \Leftrightarrow - 4\left( {{m^2} - 4} \right) > 0\)\( \Leftrightarrow {m^2} - 4 < 0 \Leftrightarrow - 2 < m < 2\)
Do \(m\) nguyên nên \(m \in \left\{ { - 1;0;1} \right\}\)
Kết hợp hai trường hợp ta được \(m \in \left\{ { - 1;0;1;2} \right\}\)
Đáp án : C
Các bài tập cùng chuyên đề
Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y = \left| {\sin x + \cos x + \tan x + \cot x + \dfrac{1}{{\sin x}} + \dfrac{1}{{\cos x}}} \right|\)
Biết rằng đồ thị hàm số bậc 4: \(y = f\left( x \right)\) được cho như hình vẽ sau:
Tìm số giao điểm của đồ thị hàm số \(y = g\left( x \right) = {\left[ {f'\left( x \right)} \right]^2} - f\left( x \right).f''\left( x \right)\) và trục $Ox.$
Với điều kiện \(\left\{ \begin{array}{l}ac\left( {{b^2} - 4ac} \right) > 0\\ab < 0\end{array} \right.\) thì đồ thị hàm số \(y = a{x^4} + b{x^2} + c\) cắt trục hoành tại bao nhiêu điểm?
Cho hàm số $f(x) = {x^3} + a{x^2} + bx - 2$ thỏa mãn $\left\{ \begin{array}{l}a + b > 1\\3 + 2a + b < 0\end{array} \right.$. Số điểm cực trị của hàm số $y = \left| {f\left( {\left| x \right|} \right)} \right|$ bằng:
Cho hàm số $y = f(x)$ có đồ thị hàm số $f'(x)$ như hình vẽ. Hàm số $y = f(1 - x) + \dfrac{{{x^2}}}{2} - x$ nghịch biến trên khoảng
Cho hàm số \(y = \dfrac{{x - 2}}{{x + 1}}\) có đồ thị \(\left( C \right).\) Gọi \(I\) là giao điểm của hai tiệm cận của \(\left( C \right).\) Xét tam giác đều \(ABI\) có hai đỉnh \(A,\;B\) thuộc \(\left( C \right),\) đoạn thẳng \(AB\) có độ dài bằng:
Cho hàm số \(y = \dfrac{1}{6}{x^4} - \dfrac{7}{3}{x^2}\) có đồ thị hàm số \(\left( C \right).\) Có bao nhiêu điểm \(A\) thuộc \(\left( C \right)\) sao cho tiếp tuyến của \(\left( C \right)\) tại \(A\) cắt \(\left( C \right)\) tại hai điểm phân biệt \(M\left( {{x_1};\;{y_1}} \right),\;N\left( {{x_2};\;{y_2}} \right)\;\;\left( {M,\;N \ne A} \right)\) thỏa mãn \({y_1} - {y_2} = 4\left( {{x_1} - {x_2}} \right)?\)
Cho hai hàm số \(y = f\left( x \right),\;y = g\left( x \right).\) Hai hàm số \(y = f'\left( x \right)\) và \(y = g'\left( x \right)\) có đồ thị hàm như hình vẽ bên, trong đó đường cong đậm hơn là đồ thị của hàm số \(y = g'\left( x \right).\) Hàm số \(h\left( x \right) = f\left( {x + 6} \right) - g\left( {2x + \dfrac{5}{2}} \right)\) đồng biến trên khoảng nào dưới đây?
Cho hàm số \(f\left( x \right) = {x^3} - 6{x^2} + 9x\). Đặt \({f^k}\left( x \right) = f\left( {{f^{k - 1}}\left( x \right)} \right)\) (với $k$ là số tự nhiên lớn hơn $1$). Tính số nghiệm của phương trình \({f^8}\left( x \right) = 0\)
Đề thi THPT QG - 2021 - mã 101
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đạo hàm \(f'\left( x \right) = \left( {x - 7} \right)\left( {{x^2} - 9} \right),\,\forall \,x \in \,\mathbb{R}\). Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số \(m\) để hàm số \(g\left( x \right) = f\left( {\left| {{x^3} + 5x} \right| + m} \right)\) có ít nhất 3 điểm cực trị?
