Với điều kiện \(\left\{ \begin{array}{l}ac\left( {{b^2} - 4ac} \right) > 0\\ab < 0\end{array} \right.\) thì đồ thị hàm số \(y = a{x^4} + b{x^2} + c\) cắt trục hoành tại bao nhiêu điểm?
-
A.
$4$
-
B.
$3$
-
C.
$1$
-
D.
$2$
+) Tính \(y'\) suy ra số điểm cực trị của hàm số.
+) Xét vị trí các điểm cực trị của đồ thị hàm số so với trục hoành và suy ra số giao điểm của đồ thị hàm số với trục hoành.
Số nghiệm của phương trình là số giao điểm của đồ thị hàm số \(y = a{x^4} + b{x^2} + c\) và đường thẳng $y = 0.$
Ta có: \(y' = 4a{x^3} + 2bx = 0 \Leftrightarrow 2x\left( {2a{x^2} + b} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\{x^2} = - \dfrac{b}{{2a}}\end{array} \right.\)
Ta có \(ab < 0 \Rightarrow \) a, b trái dấu \( \Rightarrow - \dfrac{b}{{2a}} > 0 \Rightarrow \) phương trình $y' = 0$ có $3$ nghiệm phân biệt hay đồ thị hàm số có $3$ điểm cực trị.
+ Với \(x = 0 \Rightarrow y = c \Rightarrow A\left( {0;c} \right)\)
+ Với \({x^2} = - \dfrac{b}{{2a}} \Rightarrow x = \pm \sqrt { - \dfrac{b}{{2a}}} \) \( \Rightarrow y = \dfrac{{ - a\left( {{b^2} - 4ac} \right)}}{{4{a^2}}}\)
\( \Rightarrow B\left( { - \sqrt { - \dfrac{b}{{2a}}} ;\dfrac{{ - a\left( {{b^2} - 4ac} \right)}}{{4{a^2}}}} \right),C\left( {\sqrt { - \dfrac{b}{{2a}}} ;\dfrac{{ - a\left( {{b^2} - 4ac} \right)}}{{4{a^2}}}} \right)\)
Ta có \(ac\left( {{b^2} - 4ac} \right) > 0\) \( \Leftrightarrow \dfrac{{ - a\left( {{b^2} - 4ac} \right)}}{{4{a^2}}}.c < 0\) \( \Rightarrow {y_B}.{y_A} < 0\)
\( \Rightarrow \) Các điểm cực đại và cực tiểu nằm khác phía so với trục hoành
\( \Rightarrow \) Đồ thị hàm số \(y = a{x^4} + b{x^2} + c\) cắt trục hoành tại \(4\) điểm phân biệt.
Đáp án : A
Các bài tập cùng chuyên đề
Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y = \left| {\sin x + \cos x + \tan x + \cot x + \dfrac{1}{{\sin x}} + \dfrac{1}{{\cos x}}} \right|\)
Biết rằng đồ thị hàm số bậc 4: \(y = f\left( x \right)\) được cho như hình vẽ sau:
Tìm số giao điểm của đồ thị hàm số \(y = g\left( x \right) = {\left[ {f'\left( x \right)} \right]^2} - f\left( x \right).f''\left( x \right)\) và trục $Ox.$
Cho hàm số $f(x) = {x^3} + a{x^2} + bx - 2$ thỏa mãn $\left\{ \begin{array}{l}a + b > 1\\3 + 2a + b < 0\end{array} \right.$. Số điểm cực trị của hàm số $y = \left| {f\left( {\left| x \right|} \right)} \right|$ bằng:
Cho hàm số $y = f(x)$ có đồ thị hàm số $f'(x)$ như hình vẽ. Hàm số $y = f(1 - x) + \dfrac{{{x^2}}}{2} - x$ nghịch biến trên khoảng
Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số \(m\) để hàm số \(y = {x^8} + \left( {m - 2} \right){x^5} - \left( {{m^2} - 4} \right){x^4} + 1\) đạt cực tiểu tại \(x = 0\)?
Cho hàm số \(y = \dfrac{{x - 2}}{{x + 1}}\) có đồ thị \(\left( C \right).\) Gọi \(I\) là giao điểm của hai tiệm cận của \(\left( C \right).\) Xét tam giác đều \(ABI\) có hai đỉnh \(A,\;B\) thuộc \(\left( C \right),\) đoạn thẳng \(AB\) có độ dài bằng:
Cho hàm số \(y = \dfrac{1}{6}{x^4} - \dfrac{7}{3}{x^2}\) có đồ thị hàm số \(\left( C \right).\) Có bao nhiêu điểm \(A\) thuộc \(\left( C \right)\) sao cho tiếp tuyến của \(\left( C \right)\) tại \(A\) cắt \(\left( C \right)\) tại hai điểm phân biệt \(M\left( {{x_1};\;{y_1}} \right),\;N\left( {{x_2};\;{y_2}} \right)\;\;\left( {M,\;N \ne A} \right)\) thỏa mãn \({y_1} - {y_2} = 4\left( {{x_1} - {x_2}} \right)?\)
Cho hai hàm số \(y = f\left( x \right),\;y = g\left( x \right).\) Hai hàm số \(y = f'\left( x \right)\) và \(y = g'\left( x \right)\) có đồ thị hàm như hình vẽ bên, trong đó đường cong đậm hơn là đồ thị của hàm số \(y = g'\left( x \right).\) Hàm số \(h\left( x \right) = f\left( {x + 6} \right) - g\left( {2x + \dfrac{5}{2}} \right)\) đồng biến trên khoảng nào dưới đây?
Cho hàm số \(f\left( x \right) = {x^3} - 6{x^2} + 9x\). Đặt \({f^k}\left( x \right) = f\left( {{f^{k - 1}}\left( x \right)} \right)\) (với $k$ là số tự nhiên lớn hơn $1$). Tính số nghiệm của phương trình \({f^8}\left( x \right) = 0\)
Đề thi THPT QG - 2021 - mã 101
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đạo hàm \(f'\left( x \right) = \left( {x - 7} \right)\left( {{x^2} - 9} \right),\,\forall \,x \in \,\mathbb{R}\). Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số \(m\) để hàm số \(g\left( x \right) = f\left( {\left| {{x^3} + 5x} \right| + m} \right)\) có ít nhất 3 điểm cực trị?
