Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y = \left| {\sin x + \cos x + \tan x + \cot x + \dfrac{1}{{\sin x}} + \dfrac{1}{{\cos x}}} \right|\)
-
A.
\(2\sqrt 2 - 1\)
-
B.
\(\sqrt 2 + 1\)
-
C.
\(2\sqrt 2 + 1\)
-
D.
\(\sqrt 2 - 1\)
- Đặt ẩn phụ \(t = \sin x + \cos x\), tìm điều kiện của \(t\)
- Đưa hàm số về ẩn \(t\) và sử dụng bất đẳng thức Cô – si để đánh giá tìm \(GTNN\) của hàm số.
\(y = \left| {\sin x + \cos x + \tan x + \cot x + \dfrac{1}{{\sin x}} + \dfrac{1}{{\cos x}}} \right|\)
\(y = \left| {\sin x + \cos x + \dfrac{{1 + \sin x + \cos x}}{{\sin x\cos x}}} \right|\)
Đặt \(t = \sin x + \cos x\left( { - \sqrt 2 \le t \le \sqrt 2 } \right)\) thì \(\sin x\cos x = \dfrac{{{t^2} - 1}}{2}\)
Khi đó :
\(y = \left| {t + \dfrac{{2\left( {t + 1} \right)}}{{{t^2} - 1}}} \right| = \left| {t + \dfrac{2}{{t - 1}}} \right| = \left| {t - 1 + \dfrac{2}{{t - 1}} + 1} \right|\)
Nếu \(t - 1 > 0 \Rightarrow t - 1 + \dfrac{2}{{t - 1}} + 1 \ge 2\sqrt 2 + 1 \Rightarrow y \ge 2\sqrt 2 + 1\)
Nếu \(t - 1 < 0 \Leftrightarrow t < 1\) thì ta viết lại \(y = \left| {1 - t + \dfrac{2}{{1 - t}} - 1} \right|\)
Ta có: \(1 - t + \dfrac{2}{{1 - t}} \ge 2\sqrt 2 \) \( \Rightarrow 1 - t + \dfrac{2}{{1 - t}} - 1 \ge 2\sqrt 2 - 1\) hay \(y \ge 2\sqrt 2 - 1\)
Vậy \(y \ge 2\sqrt 2 - 1\)
Dấu bằng xảy ra \( \Leftrightarrow {\left( {1 - t} \right)^2} = 2 \Leftrightarrow t = 1 - \sqrt 2 \,\,\left( {t < 1} \right)\)
\( \Rightarrow \sin x + \cos x = 1 - \sqrt 2 \Leftrightarrow \sqrt 2 \sin \left( {x + \dfrac{\pi }{4}} \right) = 1 - \sqrt 2 \Leftrightarrow \sin \left( {x + \dfrac{\pi }{4}} \right) = \dfrac{{1 - \sqrt 2 }}{2}\)
Đáp án : A
Các bài tập cùng chuyên đề
Biết rằng đồ thị hàm số bậc 4: \(y = f\left( x \right)\) được cho như hình vẽ sau:
Tìm số giao điểm của đồ thị hàm số \(y = g\left( x \right) = {\left[ {f'\left( x \right)} \right]^2} - f\left( x \right).f''\left( x \right)\) và trục $Ox.$
Với điều kiện \(\left\{ \begin{array}{l}ac\left( {{b^2} - 4ac} \right) > 0\\ab < 0\end{array} \right.\) thì đồ thị hàm số \(y = a{x^4} + b{x^2} + c\) cắt trục hoành tại bao nhiêu điểm?
Cho hàm số $f(x) = {x^3} + a{x^2} + bx - 2$ thỏa mãn $\left\{ \begin{array}{l}a + b > 1\\3 + 2a + b < 0\end{array} \right.$. Số điểm cực trị của hàm số $y = \left| {f\left( {\left| x \right|} \right)} \right|$ bằng:
Cho hàm số $y = f(x)$ có đồ thị hàm số $f'(x)$ như hình vẽ. Hàm số $y = f(1 - x) + \dfrac{{{x^2}}}{2} - x$ nghịch biến trên khoảng
Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số \(m\) để hàm số \(y = {x^8} + \left( {m - 2} \right){x^5} - \left( {{m^2} - 4} \right){x^4} + 1\) đạt cực tiểu tại \(x = 0\)?
Cho hàm số \(y = \dfrac{{x - 2}}{{x + 1}}\) có đồ thị \(\left( C \right).\) Gọi \(I\) là giao điểm của hai tiệm cận của \(\left( C \right).\) Xét tam giác đều \(ABI\) có hai đỉnh \(A,\;B\) thuộc \(\left( C \right),\) đoạn thẳng \(AB\) có độ dài bằng:
Cho hàm số \(y = \dfrac{1}{6}{x^4} - \dfrac{7}{3}{x^2}\) có đồ thị hàm số \(\left( C \right).\) Có bao nhiêu điểm \(A\) thuộc \(\left( C \right)\) sao cho tiếp tuyến của \(\left( C \right)\) tại \(A\) cắt \(\left( C \right)\) tại hai điểm phân biệt \(M\left( {{x_1};\;{y_1}} \right),\;N\left( {{x_2};\;{y_2}} \right)\;\;\left( {M,\;N \ne A} \right)\) thỏa mãn \({y_1} - {y_2} = 4\left( {{x_1} - {x_2}} \right)?\)
Cho hai hàm số \(y = f\left( x \right),\;y = g\left( x \right).\) Hai hàm số \(y = f'\left( x \right)\) và \(y = g'\left( x \right)\) có đồ thị hàm như hình vẽ bên, trong đó đường cong đậm hơn là đồ thị của hàm số \(y = g'\left( x \right).\) Hàm số \(h\left( x \right) = f\left( {x + 6} \right) - g\left( {2x + \dfrac{5}{2}} \right)\) đồng biến trên khoảng nào dưới đây?
Cho hàm số \(f\left( x \right) = {x^3} - 6{x^2} + 9x\). Đặt \({f^k}\left( x \right) = f\left( {{f^{k - 1}}\left( x \right)} \right)\) (với $k$ là số tự nhiên lớn hơn $1$). Tính số nghiệm của phương trình \({f^8}\left( x \right) = 0\)
Đề thi THPT QG - 2021 - mã 101
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đạo hàm \(f'\left( x \right) = \left( {x - 7} \right)\left( {{x^2} - 9} \right),\,\forall \,x \in \,\mathbb{R}\). Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số \(m\) để hàm số \(g\left( x \right) = f\left( {\left| {{x^3} + 5x} \right| + m} \right)\) có ít nhất 3 điểm cực trị?
