Cho \(\Delta ABC\), trung tuyến \(AM\), đường phân giác của \(\widehat {AMB}\) cắt \(AB\) ở \(D\) đường phân giác của \(\widehat {AMC}\) cắt \(AC\) ở \(E\).
a) Chứng minh rằng \(AD.AC = AE.AB\) và \(DE\parallel BC\).
b) Gọi \(I\) là giao điểm của \(AM\) và \(DE\). Chứng minh rằng \(I\) là trung điểm của \(DE\).
c) Tính \(DE\), biết \(BC = 30\,cm\) và \(AM = 10\,cm\).
d) Tam giác \(ABC\) phải thêm điều kiện gì để \(DE\) là đường trung bình của tam giác đó?
- Vẽ hình theo yêu cầu bài toán.
a) Chứng minh \(MB = MC\)
Chứng minh \(\frac{{DA}}{{DB}} = \frac{{EA}}{{EC}} = \frac{{MA}}{{MB}}\)
Theo định lí Thales đảo ta có \(DE\parallel BC\).
b) Chứng minh \(\frac{{DI}}{{BM}} = \frac{{IE}}{{MC}}\).
Mà \(MB = MC\) nên suy ra được \(I\) là trung điểm của \(DE\)
c) Tính độ dài đoạn thẳng \(BC\).
Theo câu a, ta có \(\frac{{DA}}{{DB}} = \frac{{MA}}{{MB}}\). Sau đó ta cộng hai vế với 1, biến đổi ta có \(\frac{{DA}}{{AB}} = \frac{2}{5}\).
Áp dụng định lý Thales trong \(\Delta ABC\), tính độ dài đoạn \(DE\)
d) Để \(DE\) là đường trung bình của \(\Delta ABC\) thì \(D, E\) lần lượt là trung điểm của \(AB, AC\)
Suy ra \(MA = MB\), \(MA = MC\)
Do đó \(MA = MB = MC = \frac{1}{2}BC\).
Do \(\Delta ABC\) có đường trung tuyến \(AM\) bằng nửa cạnh \(BC\) nên \(\Delta ABC\) vuông tại \(A\)
a) Xét \(\Delta ABM\) có \(MD\) là đường phân giác của \(\widehat {AMB}\) nên \(\frac{{MA}}{{MB}} = \frac{{DA}}{{DB}}\) (1) (tính chất đường phân giác của tam giác).
Xét \(\Delta ACM\) có \(ME\) là đường phân giác của \(\widehat {AMC}\) nên \(\frac{{MA}}{{MC}} = \frac{{EA}}{{EC}}\) (2) (tính chất đường phân giác của tam giác).
Do \(AM\) là đường trung tuyến của \(\Delta ABM\) nên \(M\) là trung điểm của \(BC\) hay \(MB = MC = \frac{1}{2}BC\). (3)
Từ (1), (2) và (3) ta có \(\frac{{DA}}{{DB}} = \frac{{EA}}{{EC}}\).
Xét \(\Delta ABC\) có \(\frac{{DA}}{{DB}} = \frac{{EA}}{{EC}}\), theo định lí Thales đảo ta có \(DE\parallel BC\).
b) Xét \(\Delta ABM\) có \(DI\parallel BM\), theo hệ quả định lí Thales ta có \(\frac{{DI}}{{BM}} = \frac{{AI}}{{AM}}\).
Xét \(\Delta ACM\) có \(IE\parallel MC\), theo hệ quả định lí Thales ta có \(\frac{{IE}}{{MC}} = \frac{{AI}}{{AM}}\).
Do đó \(\frac{{DI}}{{BM}} = \frac{{IE}}{{MC}}\).
Mà \(MB = MC\) (chứng minh ở câu a) nên \(DI = IE\), hay \(I\) là trung điểm của \(DE\)
c) Ta có \(MB = MC = \frac{1}{2}BC = \frac{1}{2}.30 = 15\,cm\).
Theo câu a, ta có \(\frac{{DA}}{{DB}} = \frac{{MA}}{{MB}}\), suy ra \(\frac{{DA}}{{DA + DB}} = \frac{{MA}}{{MA + MB}} = \frac{{10}}{{10 + 15}} = \frac{{10}}{{25}} = \frac{2}{5}\).
Do đó \(\frac{{DA}}{{AB}} = \frac{2}{5}\).
Xét \(\Delta ABC\) có \(DE\parallel BC\), theo hệ quả định lí Thales ta có \(\frac{{DE}}{{BC}} = \frac{{AD}}{{AB}} = \frac{2}{5}\)
Suy ra \(DE = \frac{2}{5}BC = \frac{2}{5}.30 = 12\,cm\).
d) Để \(DE\) là đường trung bình của \(\Delta ABC\) thì \(D, E\) lần lượt là trung điểm của \(AB, AC\)
Xét \(\Delta ABM\) có \(MD\) vừa là đường trung tuyến, vừa là đường phân giác nên là tam giác cân tại \(M\). Suy ra \(MA = MB\) (tính chất tam giác cân).
Tương tự, ta cũng chứng minh được \(MA = MC\)
Do đó \(MA = MB = MC = \frac{1}{2}BC\).
Xét \(\Delta ABC\) có đường trung tuyến \(AM\) bằng nửa cạnh \(BC\) nên \(\Delta ABC\) vuông tại \(A\)
Vậy \(\Delta ABC\) phải là tam giác vuông tại \(A\) thì \(DE\) là đường trung bình của tam giác đó.
Các bài tập cùng chuyên đề
Cho tam giác ABC. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, AC, BC.
a) Chứng minh tứ giác BMNC là hình thang.
b) Tứ giác MNPB là hình gì? Tại sao?
Cho hình chữ nhật ABCD có AC cắt BD tại O. Gọi H, K lần lượt là trung điểm của AB, AD. Chứng minh tứ giác AHOK là hình chữ nhật.
Cho tứ giác ABCD, gọi E, F, K lần lượt là trung điểm của AD, BC, AC.
a) Chứng minh EK // CD, FK // AB.
b) So sánh EF và \(\dfrac{1}{2}(AB + C{\rm{D}})\)
Tính độ dài đoạn \(PQ\) (Hình 10).
Cho biết cạnh mỗi ô vuông bằng \(1cm\). Tính độ dài các đoạn \(PQ,PR,RQ,AB,BC,CA\) trong Hình 11.
Cho tam giác \(ABC\) nhọn. Gọi \(M,N,P\) lần lượt là trung điểm của \(AB;AC;BC\). Kẻ đường cao \(AH\). Chứng minh rằng tứ giác \(MNPH\) là hình thang cân.
Một mái nhà được vẽ như Hình 13. Tính độ dài \(x\) trong hình mái nhà.
Ảnh chụp từ Google Maps của một trường học được cho trong Hình 14. Hãy tính chiều dài cạnh \(DE\), cho biết \(BC = 232m\) và \(B,C\) lần lượt là trung điểm của \(AD\) và \(AE\).
Cho tam giác ABC có AM là đường trung tuyến, các điểm N, P phân biệt thuộc cạnh AB sao cho \(AP = PN = NB\). Gọi Q là giao điểm của AM và CP. Chứng minh:
a) \(MN//CP\)
b) \(AQ = QM\)
c) \(CP = 4PQ\)
Cho tứ giác ABCD có M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, CD, DA.
a) Chứng minh tứ giác MNPQ là hình bình hành.
b) Cho \(AC = BD\). Chứng minh tứ giác MNPQ là hình thoi.
c) Cho \(AC \bot BD\). Chứng minh tứ giác MNPQ là hình chữ nhật.
Cho tam giác \(ABC\), các đường trung tuyến \(BD, CE\). Gọi \(M, N\) theo thứ tự là trung điểm của \(BE, CD\). Gọi \(I, K\) theo thứ tự là giao điểm của \(MN\) với \(BD\) và \(CE\) Chứng minh rằng:
a) \(\)\(\)\(ED\parallel BC\)
b) \(\)\(\)\(MN\parallel BC\)
c) \(MI = IK = KN\).
