Người ta treo một vật trang trí \(O\) có khối lượng \(m = 2{\mkern 1mu} {\rm{kg}}\) trên trần nhà bằng các sợi dây nhẹ, không co giãn tại các điểm \(A\), \(B\) và \(C\). Để bảo đảm lực phân phối đều trên các dây và tính thẩm mỹ, người ta chọn độ dài các dây sao cho tứ diện OABC là tứ diện đều. Gọi \(\overrightarrow {{T_1}} \), \(\overrightarrow {{T_2}} \) và \(\overrightarrow {{T_3}} \) lần lượt là các lực căng dây của ba dây treo tại \(A\), \(B\) và \(C\). Lấy giá trị gần đúng của gia tốc trọng trường \(g\) là \(10{\mkern 1mu} {\rm{m/}}{{\rm{s}}^2}\).
a) Tính cường độ của hợp lực.
b) Tính cường độ của lực căng trên mỗi dây.
- Do hệ cân bằng, hợp lực của ba lực căng \(\overrightarrow {{T_1}} \), \(\overrightarrow {{T_2}} \) và \(\overrightarrow {{T_3}} \) phải bằng với trọng lực của vật \(O\).
- Đặt T là cường độ của lực căng trên mỗi dây, tính hợp lực giữa \(\overrightarrow {{T_1}} \) và \(\overrightarrow {{T_2}} \), sau đó là tổng hợp lực giữa \(\overrightarrow {{T_{12}}} \) và \(\overrightarrow {{T_3}} \). Tìm mối liên hệ giữa T và P để tìm T.
a) Hệ lực đang cân bằng, ta có: \(\overrightarrow {{T_1}} + \overrightarrow {{T_2}} + \overrightarrow {{T_3}} + \vec P = \overrightarrow 0 \).
Do đó, cường độ của hợp lực bằng 0.
b) Trọng lực tác dụng lên vật O: \( P = m \cdot g = 2 \cdot 10 = 20{\mkern 1mu} {\rm{N}}\).
Giả sử các lực căng dây có độ lớn bằng nhau \(T = |\overrightarrow {{T_1}} | = |\overrightarrow {{T_2}} | = |\overrightarrow {{T_3}} |\), ta có: \({T_{12}} = \sqrt {2{T^2} + 2.{T^2}.\cos 60^\circ } = T\sqrt 3 \) (\(\left( {\overrightarrow {{T_1}} ,\overrightarrow {{T_2}} } \right) = 60^\circ \) vì các mặt bên là tam giác đều)
\({T_{hl}} = \sqrt {{T_{12}}^2 + {T_3}^2 + 2.{T_{12}}.{T_3}.\cos \alpha } = \sqrt {3{T^2} + {T^2} + 2.\sqrt 3 T.T.\frac{{\sqrt 3 }}{3}} = T\sqrt 6 \) (giá của \(\overrightarrow {{T_{12}}} \) chính là đường trung tuyến của tam giác chứa \({T_1},{T_2}\). Áp dụng định lý Cosin vào tam giác có chứa giá của \(\overrightarrow {{T_{12}}} \), \(\overrightarrow {{T_3}} \) và đường trung tuyến của tam giác đáy để tìm góc giữa \(\overrightarrow {{T_{12}}} \)\(\overrightarrow {{T_3}} \)).
Mà: \({T_{hl}} = P = 20\).
Suy ra: \(T = \frac{{20}}{{\sqrt 6 }} \approx 8,16\).
Vậy cường độ của lực căng trên mỗi dây là \(8,16{\rm{N}}\).
Các bài tập cùng chuyên đề
Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi E, F lần lượt là các điểm thuộc các cạnh SA, SB sao cho \(SE = \frac{1}{3}SA,SF = \frac{1}{3}SB\). Chứng minh rằng \(\overrightarrow {EF} = \frac{1}{3}\overrightarrow {DC} \).
Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ (H.2.25). Tính các góc \(\left( {\overrightarrow {AA'} ,\overrightarrow {BC} } \right)\) và \(\left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {A'C'} } \right)\).
Cho hình lăng trụ tứ giác đều ABCD.A’B’C’D’ có độ dài mỗi cạnh đáy bằng 1 và độ dài mỗi cạnh bên bằng 2. Hãy tính góc giữa các cặp vectơ sau đây và tính tích vô hướng của mỗi cặp vectơ đó:
a) \(\overrightarrow {AA'} \) và \(\overrightarrow {C'C;} \)
b) \(\overrightarrow {AA'} \) và \(\overrightarrow {BC;} \)
c) \(\overrightarrow {AC} \) và \(\overrightarrow {B'A'} \).
Cho hình chóp S.ABC. Trên cạnh SA, lấy điểm M sao cho \(SM = 2AM\). Trên cạnh BC, lấy điểm N sao cho \(CN = 2BN\). Chứng minh rằng \(\overrightarrow {MN} = \frac{1}{3}\left( {\overrightarrow {SA} + \overrightarrow {BC} } \right) + \overrightarrow {AB} \).
Cho tứ diện ABCD. Lấy G là trọng tâm của tam giác BCD. Khẳng định nào sau đây là sai?
A. \(\overrightarrow {BG} + \overrightarrow {CG} + \overrightarrow {DG} = \overrightarrow 0 \).
B. \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {AD} = 3\overrightarrow {AG} \).
C. \(\overrightarrow {BC} + \overrightarrow {BD} = 3\overrightarrow {BG} \).
D. \(\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} + \overrightarrow {GD} = \overrightarrow 0 \).
Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’. Lấy M là trung điểm của đoạn thẳng CC’. Vectơ \(\overrightarrow {AM} \) bằng
A. \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {AA'} \).
B. \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} + \frac{1}{2}\overrightarrow {AA'} \).
C. \(\overrightarrow {AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow {AD} + \frac{1}{2}\overrightarrow {AA'} \).
D. \(\frac{1}{2}\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {AA'} \).
Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’. Khẳng định nào dưới đây là sai?
A. \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {CC'} = \overrightarrow {AB'} \).
B. \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {AA'} = \overrightarrow {AC'} \).
C. \(\overrightarrow {AD} + \overrightarrow {BB'} = \overrightarrow {AD'} \).
D. \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {CC'} = \overrightarrow {AC'} \).
Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’, gọi G là trọng tâm của tam giác BDA’.
a) Biểu diễn \(\overrightarrow {AG} \) theo \(\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AD} \) và \(\overrightarrow {AA'} \).
b) Từ câu a, hãy chứng tỏ ba điểm A, G và C’ thẳng hàng.
Cho tứ diện ABCD, chứng minh rằng:
a) \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {CD} + \overrightarrow {AC} .\overrightarrow {DB} + \overrightarrow {AD} .\overrightarrow {BC} = 0\);
b) Nếu \(AB \bot CD\) và \(AC \bot BD\) thì \(AD \bot BC\).
Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng a. Gọi G là trọng tâm của tam giác BC’D’.
a) Chứng minh rằng \(\overrightarrow {AG} = \frac{2}{3}\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {AA'} } \right)\).
b) Tính theo a độ dài đoạn thẳng AG.
Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng a. Gọi G là trọng tâm của tam giác BC’D’.
a) Chứng minh rằng \(\overrightarrow {AG} = \frac{2}{3}\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {AA'} } \right)\).
b) Tính theo a độ dài đoạn thẳng AG.
Một lực tĩnh điện \(\overrightarrow F \) tác động lên điện tích điểm M trong điện trường đều làm cho M dịch chuyển theo đường gấp khúc MNP (Hình 29). Biết \(q = {2.10^{ - 12}}C\), vectơ điện trường có độ lớn \(E = 1,{8.10^5}\)N/C và d = MH = 5mm. Tính công A sinh bởi lực tĩnh điện \(\overrightarrow F \).
Phát biểu nào sau đây là đúng?
-
A.
Với hai vecto \(\overrightarrow a ,\overrightarrow b \) bất kì và số thực \(k\), ta có \(k(\overrightarrow a - \overrightarrow b ) = k\overrightarrow a - \overrightarrow b \)
-
B.
Với hai vecto \(\overrightarrow a ,\overrightarrow b \) bất kì và số thực \(k\), ta có \(k(\overrightarrow a + \overrightarrow b ) = k\overrightarrow a - k\overrightarrow b \)
-
C.
Với hai vecto \(\overrightarrow a ,\overrightarrow b \) bất kì và số thực \(k\), ta có \(k(\overrightarrow a - \overrightarrow b ) = k\overrightarrow a \overrightarrow b \)
-
D.
Với hai vecto \(\overrightarrow a ,\overrightarrow b \) bất kì và số thực \(k\), ta có \(k(\overrightarrow a + \overrightarrow b ) = k\overrightarrow a + k\overrightarrow b \)
Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’.
a) Các vecto bằng với vecto \(\overrightarrow {AB} \) là \(\overrightarrow {DC} ,\overrightarrow {D'C'} ,\overrightarrow {A'B'} \)
b) Vecto đối của vecto \(\overrightarrow {A'A} \) là \(\overrightarrow {B'B} \)
c) \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {DC} = 2\overrightarrow {A'B'} \)
d) \(\overrightarrow {BB'} - \overrightarrow {CA} = \overrightarrow {C'A} \)
Trong không gian cho điểm O và bốn điểm A, B, C, D không thẳng hàng. Điều kiện cần và đủ để A, B, C, D tạo thành hình bình hành là?
-
A.
\(\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} + \overrightarrow {OD} = \overrightarrow 0 \)
-
B.
\(\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OC} = \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OD} \)
-
C.
\(\overrightarrow {OA} + \frac{1}{2}\overrightarrow {OB} = \overrightarrow {OC} + \frac{1}{2}\overrightarrow {OD} \)
-
D.
\(\overrightarrow {OA} + \frac{1}{2}\overrightarrow {OC} = \overrightarrow {OB} + \frac{1}{2}\overrightarrow {OD} \)
Cho ba vecto \(\overrightarrow a ,\overrightarrow b ,\overrightarrow c \) không đồng phẳng. Xét các vecto \(\overrightarrow x = 2\overrightarrow a - \overrightarrow b \); \(\overrightarrow y = - 4\overrightarrow a + 2\overrightarrow b \); \(\overrightarrow z = - 3\overrightarrow b - 2\overrightarrow c \). Chọn khẳng định đúng?
-
A.
Hai vecto \(\overrightarrow y ,\overrightarrow z \) cùng phương
-
B.
Hai vecto \(\overrightarrow x ,\overrightarrow y \) cùng phương
-
C.
Hai vecto \(\overrightarrow x ,\overrightarrow z \) cùng phương
-
D.
Ba vecto \(\overrightarrow x ,\overrightarrow y ,\overrightarrow z \) đồng phẳng.
Cho hình hộp chữ nhật \(ABCD.{A_1}{B_1}{C_1}{D_1}\) có \(AB = a\), \(BC = 2a\), \(A{A_1} = 3a\).
a) \(\left( {\overrightarrow {A{B_1}} ;\overrightarrow {{C_1}D} } \right) = {45^o}\)
b) \(\overrightarrow {{A_1}B} .\overrightarrow {{D_1}D} = 9{a^2}\)
c) \(\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {AD} = \overrightarrow {{C_1}{A_1}} .\overrightarrow {{C_1}{B_1}} \)
d) \(\overrightarrow {{A_1}{D_1}} .\overrightarrow {{C_1}C} = 0\)
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O và G là trọng tâm tam giác SBD.
a) \(\overrightarrow {SG} = \frac{2}{3}\overrightarrow {SO} \)
b) \(\overrightarrow {AS} + \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} = \overrightarrow {AG} \)
c) \(\overrightarrow {SA} + \overrightarrow {SC} = 3\overrightarrow {SG} \)
d) \(\overrightarrow {SA} + \overrightarrow {SB} + \overrightarrow {SC} + \overrightarrow {SD} = 12\overrightarrow {GO} \)
Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?
-
A.
Vecto trong không gian là một đoạn thẳng có hướng
-
B.
Hai vecto cùng phương là hai vecto có giá song song hoặc trùng nhau
-
C.
Hai vecto bằng nhau là hai vecto cùng hướng và có độ dài bằng nhau
-
D.
Hai vecto cùng phương thì cùng hướng
Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’.
a) \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {B'C'} + \overrightarrow {DD'} = \overrightarrow {AC'} \)
b) \(\overrightarrow {BD} + \overrightarrow {DD'} + \overrightarrow {B'D'} = \overrightarrow {BB'} \)
c) \(\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {BA'} + \overrightarrow {DB} + \overrightarrow {C'D} = \overrightarrow 0 \)
d) \(\overrightarrow {AB'} = \overrightarrow {C'D} \)
Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’.
a) \(\overrightarrow {A'A} = - \overrightarrow {CC'} \)
b) \(\overrightarrow {BA'} = \overrightarrow {CD'} \)
c) \(\overrightarrow {A'A} + \overrightarrow {A'B'} + \overrightarrow {A'D'} = \overrightarrow {A'C} \)
d) \(\overrightarrow {C'C} + \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {B'C'} = 2\overrightarrow {A'C} \)
Cho tứ diện ABCD có AB = AC = AD và \(\widehat {BAC} = \widehat {BAD} = {60^o}\). Hãy xác định góc giữa cặp vecto \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {CD} \).
-
A.
\({60^o}\)
-
B.
\({45^o}\)
-
C.
\({120^o}\)
-
D.
\({90^o}\)
Cho hai vecto \(\overrightarrow a ,\overrightarrow b \) thỏa mãn \(\left| {\overrightarrow a } \right| = \left| {\overrightarrow b } \right| = 1\) và \(\overrightarrow a .\overrightarrow b = 3\). Độ dài vecto \(3\overrightarrow a + 5\overrightarrow b \) là?
-
A.
\(5\sqrt 5 \)
-
B.
\(\sqrt {124} \)
-
C.
8
-
D.
124
Cho hình chóp S.ABCD.
a) Tứ giác ABCD là hình bình hành nếu \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {CD} + \overrightarrow {DA} = \overrightarrow 0 \)
b) Tứ giác ABCD là hình bình hành nếu \(\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {CD} \)
c) Nếu có \(\overrightarrow {SB} + \overrightarrow {SD} = \overrightarrow {SA} + \overrightarrow {SC} \) thì tứ giác ABCD là hình bình hành
d) Tứ giác ABCD là hình bình hành nếu \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} = \overrightarrow {AD} \)
Cho ba vecto \(\overrightarrow a ,\overrightarrow b ,\overrightarrow c \) không đồng phẳng. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?
-
A.
Nếu \(\overrightarrow a ,\overrightarrow b ,\overrightarrow c \) không đồng phẳng thì từ \(m\overrightarrow a + n\overrightarrow b + p\overrightarrow c = \overrightarrow 0 \) ta suy ra m = n = p = 0
-
B.
Nếu có \(m\overrightarrow a + n\overrightarrow b + p\overrightarrow c = \overrightarrow 0 \), trong đó \({m^2} + {n^2} + {p^2} > 0\) thì \(\overrightarrow a ,\overrightarrow b ,\overrightarrow c \) đồng phẳng
-
C.
Với ba số thực m, n, p thỏa mãn \(m + n + p \ne 0\) ta có \(m\overrightarrow a + n\overrightarrow b + p\overrightarrow c = \overrightarrow 0 \) thì \(\overrightarrow a ,\overrightarrow b ,\overrightarrow c \) đồng phẳng
-
D.
Nếu giá của \(\overrightarrow a ,\overrightarrow b ,\overrightarrow c \) đồng quy thì \(\overrightarrow a ,\overrightarrow b ,\overrightarrow c \) đồng phẳng
Cho tứ diện hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông ABCD cạnh bằng a và các cạnh bên đều bằng a. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AD và SD. Số đo góc (MN,SC) bằng
-
A.
\({45^o}\)
-
B.
\({30^o}\)
-
C.
\({90^o}\)
-
D.
\({60^o}\)
Cho hai vecto \(\overrightarrow a ,\overrightarrow b \ne 0\). Xác định góc giữa hai vecto \(\overrightarrow a ,\overrightarrow b \) khi \(\overrightarrow a .\overrightarrow b = - \left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|\).
-
A.
\(\alpha = {180^o}\)
-
B.
\(\alpha = {0^o}\)
-
C.
\(\alpha = {90^o}\)
-
D.
\(\alpha = {45^o}\)
Cho tứ diện ABCD có các cạnh đều bằng a.
a) \(\overrightarrow {AD} + \overrightarrow {CB} + \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {DA} = \overrightarrow 0 \)
b) \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {BC} = - \frac{{{a^2}}}{2}\)
c) \(\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {AD} = \overrightarrow {AC} .\overrightarrow {CD} \)
d) \(AB \bot CD\)
Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?
-
A.
Vì I là trung điểm đoạn AB nên từ O bất kì ta có: \(\overrightarrow {OI} = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} } \right)\)
-
B.
Vì \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {CD} + \overrightarrow {DA} = \overrightarrow 0 \) nên bốn điểm A, B, C, D đồng phẳng
-
C.
Vì \(\overrightarrow {NM} + \overrightarrow {NP} = \overrightarrow 0 \) nên N là trung điểm của đoạn NP
-
D.
Từ hệ thức \(\overrightarrow {AB} = 2\overrightarrow {AC} - 8\overrightarrow {AD} \) ta suy ra ba vecto \(\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {AD} \) đồng phẳng
Cho hình lập phương ABCD.EFGH. Hãy xác định góc giữa cặp vecto \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {EG} \)?
-
A.
\({90^o}\)
-
B.
\({60^o}\)
-
C.
\({45^o}\)
-
D.
\({120^o}\)
