Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng a. Gọi G là trọng tâm của tam giác BC’D’.
a) Chứng minh rằng \(\overrightarrow {AG} = \frac{2}{3}\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {AA'} } \right)\).
b) Tính theo a độ dài đoạn thẳng AG.
Sử dụng kiến thức về quy tắc hình hộp để giải bài toán: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’. Khi đó, ta có: \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {AA'} = \overrightarrow {AC'} \)
Sử dụng kiến thức về độ dài của vectơ trong không gian để tính: Độ dài của vectơ trong không gian là khoảng cách giữa điểm đầu và điểm cuối của vectơ đó. Độ dài của vectơ \(\overrightarrow a \) được kí hiệu là \(\left| {\overrightarrow a } \right|\).
a) Gọi H là tâm của hình lập phương ABCD.A’B’C’D’. Khi đó, H là trung điểm của AC’. Do đó, \(\overrightarrow {AH} = \overrightarrow {HC'} = \frac{1}{2}\overrightarrow {AC'} \).
Vì G là trọng tâm của tam giác BC’D’ và C’H là đường trung tuyến của tam giác BC’D’ nên: \(\overrightarrow {HG} = \frac{1}{3}\overrightarrow {HC'} \).
Vì ABCD.A’B’C’D’ là hình lập phương nên \(\overrightarrow {AC'} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {AA'} \) (quy tắc hình hộp)
Ta có: \(\overrightarrow {AG} = \overrightarrow {AH} + \overrightarrow {HG} = \frac{1}{2}\overrightarrow {AC'} + \frac{1}{3}\overrightarrow {HC'} = \frac{1}{2}\overrightarrow {AC'} + \frac{1}{6}\overrightarrow {AC'} = \frac{2}{3}\overrightarrow {AC'} = \frac{2}{3}\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {AA'} } \right)\)
b) Theo phần a ta có: \(\overrightarrow {AG} = \frac{2}{3}\overrightarrow {AC'} \) nên \(AG = \frac{2}{3}AC'\)
Tam giác ACD vuông tại D nên \(AC = \sqrt {A{D^2} + D{C^2}} = a\sqrt 2 \)
Tam giác ACC’ vuông tại C nên \(AC' = \sqrt {A{C^2} + CC{'^2}} = \sqrt {2{a^2} + {a^2}} = a\sqrt 3 \)
Do đó, \(AG = \frac{2}{3}.a\sqrt 3 = \frac{{2a\sqrt 3 }}{3}\)
Các bài tập cùng chuyên đề
Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi E, F lần lượt là các điểm thuộc các cạnh SA, SB sao cho \(SE = \frac{1}{3}SA,SF = \frac{1}{3}SB\). Chứng minh rằng \(\overrightarrow {EF} = \frac{1}{3}\overrightarrow {DC} \).
Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ (H.2.25). Tính các góc \(\left( {\overrightarrow {AA'} ,\overrightarrow {BC} } \right)\) và \(\left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {A'C'} } \right)\).
Cho hình lăng trụ tứ giác đều ABCD.A’B’C’D’ có độ dài mỗi cạnh đáy bằng 1 và độ dài mỗi cạnh bên bằng 2. Hãy tính góc giữa các cặp vectơ sau đây và tính tích vô hướng của mỗi cặp vectơ đó:
a) \(\overrightarrow {AA'} \) và \(\overrightarrow {C'C;} \)
b) \(\overrightarrow {AA'} \) và \(\overrightarrow {BC;} \)
c) \(\overrightarrow {AC} \) và \(\overrightarrow {B'A'} \).
Cho hình chóp S.ABC. Trên cạnh SA, lấy điểm M sao cho \(SM = 2AM\). Trên cạnh BC, lấy điểm N sao cho \(CN = 2BN\). Chứng minh rằng \(\overrightarrow {MN} = \frac{1}{3}\left( {\overrightarrow {SA} + \overrightarrow {BC} } \right) + \overrightarrow {AB} \).
Cho tứ diện ABCD. Lấy G là trọng tâm của tam giác BCD. Khẳng định nào sau đây là sai?
A. \(\overrightarrow {BG} + \overrightarrow {CG} + \overrightarrow {DG} = \overrightarrow 0 \).
B. \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {AD} = 3\overrightarrow {AG} \).
C. \(\overrightarrow {BC} + \overrightarrow {BD} = 3\overrightarrow {BG} \).
D. \(\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} + \overrightarrow {GD} = \overrightarrow 0 \).
Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’. Lấy M là trung điểm của đoạn thẳng CC’. Vectơ \(\overrightarrow {AM} \) bằng
A. \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {AA'} \).
B. \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} + \frac{1}{2}\overrightarrow {AA'} \).
C. \(\overrightarrow {AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow {AD} + \frac{1}{2}\overrightarrow {AA'} \).
D. \(\frac{1}{2}\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {AA'} \).
Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’. Khẳng định nào dưới đây là sai?
A. \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {CC'} = \overrightarrow {AB'} \).
B. \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {AA'} = \overrightarrow {AC'} \).
C. \(\overrightarrow {AD} + \overrightarrow {BB'} = \overrightarrow {AD'} \).
D. \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {CC'} = \overrightarrow {AC'} \).
Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’, gọi G là trọng tâm của tam giác BDA’.
a) Biểu diễn \(\overrightarrow {AG} \) theo \(\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AD} \) và \(\overrightarrow {AA'} \).
b) Từ câu a, hãy chứng tỏ ba điểm A, G và C’ thẳng hàng.
Cho tứ diện ABCD, chứng minh rằng:
a) \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {CD} + \overrightarrow {AC} .\overrightarrow {DB} + \overrightarrow {AD} .\overrightarrow {BC} = 0\);
b) Nếu \(AB \bot CD\) và \(AC \bot BD\) thì \(AD \bot BC\).
Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng a. Gọi G là trọng tâm của tam giác BC’D’.
a) Chứng minh rằng \(\overrightarrow {AG} = \frac{2}{3}\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {AA'} } \right)\).
b) Tính theo a độ dài đoạn thẳng AG.
Một lực tĩnh điện \(\overrightarrow F \) tác động lên điện tích điểm M trong điện trường đều làm cho M dịch chuyển theo đường gấp khúc MNP (Hình 29). Biết \(q = {2.10^{ - 12}}C\), vectơ điện trường có độ lớn \(E = 1,{8.10^5}\)N/C và d = MH = 5mm. Tính công A sinh bởi lực tĩnh điện \(\overrightarrow F \).
Phát biểu nào sau đây là đúng?
Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’.
Trong không gian cho điểm O và bốn điểm A, B, C, D không thẳng hàng. Điều kiện cần và đủ để A, B, C, D tạo thành hình bình hành là?
Cho ba vecto \(\overrightarrow a ,\overrightarrow b ,\overrightarrow c \) không đồng phẳng. Xét các vecto \(\overrightarrow x = 2\overrightarrow a - \overrightarrow b \); \(\overrightarrow y = - 4\overrightarrow a + 2\overrightarrow b \); \(\overrightarrow z = - 3\overrightarrow b - 2\overrightarrow c \). Chọn khẳng định đúng?
Cho hình hộp chữ nhật \(ABCD.{A_1}{B_1}{C_1}{D_1}\) có \(AB = a\), \(BC = 2a\), \(A{A_1} = 3a\).
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O và G là trọng tâm tam giác SBD.
Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?
Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’.
Cho tứ diện ABCD có AB = AC = AD và \(\widehat {BAC} = \widehat {BAD} = {60^o}\). Hãy xác định góc giữa cặp vecto \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {CD} \).
Cho hai vecto \(\overrightarrow a ,\overrightarrow b \) thỏa mãn \(\left| {\overrightarrow a } \right| = \left| {\overrightarrow b } \right| = 1\) và \(\overrightarrow a .\overrightarrow b = 3\). Độ dài vecto \(3\overrightarrow a + 5\overrightarrow b \) là?
Cho hình chóp S.ABCD.
Cho ba vecto \(\overrightarrow a ,\overrightarrow b ,\overrightarrow c \) không đồng phẳng. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?
Cho tứ diện hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông ABCD cạnh bằng a và các cạnh bên đều bằng a. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AD và SD. Số đo góc (MN,SC) bằng
Cho hai vecto \(\overrightarrow a ,\overrightarrow b \ne 0\). Xác định góc giữa hai vecto \(\overrightarrow a ,\overrightarrow b \) khi \(\overrightarrow a .\overrightarrow b = - \left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|\).
Cho tứ diện ABCD có các cạnh đều bằng a.
Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?
Cho hình lập phương ABCD.EFGH. Hãy xác định góc giữa cặp vecto \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {EG} \)?
Cho hai vecto \(\overrightarrow a ,\overrightarrow b \) thỏa mãn \(\left| {\overrightarrow a } \right| = 4\), \(\left| {\overrightarrow b } \right| = 3\), \(\left| {\overrightarrow a - \overrightarrow b } \right| = 4\). Gọi \(\alpha \) là góc giữa hai vecto \(\overrightarrow a ,\overrightarrow b \). Chọn khẳng định đúng?
Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ tâm O.
