Tính góc giữa đường thẳng \(d\) và mặt phẳng \(\left( P \right)\) trong mỗi trường hợp sau:
a) \(d:\left\{ \begin{array}{l}x = 11 + 3t\\y = - 11 + t\\z = - 21 - 2t\end{array} \right.\) và \(\left( P \right):6x + 2y - 4z + 7 = 0.\)
b) \(d:\frac{{x - 3}}{2} = \frac{{y + 4}}{4} = \frac{{z - 5}}{2}\) và \(\left( P \right):2x + 2y - 4z + 1 = 0.\)
c) \(d:\frac{{x + 3}}{4} = \frac{{y + 5}}{4} = \frac{{z + 11}}{2}\) và \(\left( P \right):2y - 4z + 7 = 0.\)
Xác định vectơ chỉ phương \(\vec a\) của \(d\) và vectơ pháp tuyến \(\vec n\) của \(\left( P \right)\). Sau đó sử dụng công thức \(\sin \left( {d,\left( P \right)} \right) = \left| {\cos \left( {\vec a,\vec n} \right)} \right|.\)
a) Một vectơ chỉ phương của đường thẳng \(d\) là \(\vec a = \left( {3;1; - 2} \right)\).
Một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \(\left( P \right)\) là \(\vec n = \left( {6;2; - 4} \right)\).
Ta có \(\sin \left( {d,\left( P \right)} \right) = \left| {\cos \left( {\vec a,\vec n} \right)} \right| = \frac{{\left| {3.6 + 1.2 + \left( { - 2} \right).\left( { - 4} \right)} \right|}}{{\sqrt {{3^2} + {1^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} .\sqrt {{6^2} + {2^2} + {{\left( { - 4} \right)}^2}} }} = 1\).
Suy ra \(\left( {d,\left( P \right)} \right) = {90^o}\).
b) Một vectơ chỉ phương của đường thẳng \(d\) là \(\vec a = \left( {2;4;2} \right)\).
Một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \(\left( P \right)\) là \(\vec n = \left( {2;2; - 4} \right)\).
Ta có \(\sin \left( {d,\left( P \right)} \right) = \left| {\cos \left( {\vec a,\vec n} \right)} \right| = \frac{{\left| {2.2 + 4.2 + 2.\left( { - 4} \right)} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {4^2} + {2^2}} .\sqrt {{2^2} + {2^2} + {{\left( { - 4} \right)}^2}} }} = \frac{1}{6}\).
Suy ra \(\left( {d,\left( P \right)} \right) \approx {9^o}36'\).
c) Một vectơ chỉ phương của đường thẳng \(d\) là \(\vec a = \left( {4;4;2} \right).\)
Một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \(\left( P \right)\) là \(\vec n = \left( {0;2; - 4} \right).\)
Ta có \(\sin \left( {d,\left( P \right)} \right) = \left| {\cos \left( {\vec a,\vec n} \right)} \right| = \frac{{\left| {4.0 + 4.2 + 2.\left( { - 4} \right)} \right|}}{{\sqrt {{4^2} + {4^2} + {2^2}} .\sqrt {{0^2} + {2^2} + {{\left( { - 4} \right)}^2}} }} = 0.\)
Suy ra \(\left( {d,\left( P \right)} \right) = {0^o}.\)
Các bài tập cùng chuyên đề
Trong không gian Oxyz, tính góc giữa đường thẳng \(\Delta \) và mặt phẳng (P), với:
\(\Delta :\frac{{x + 2}}{{ - 1}} = \frac{{y - 4}}{2} = \frac{{z + 1}}{1},\left( P \right):x - y + z - 1 = 0\).
Trong không gian Oxyz, tính góc giữa trục Oz và mặt phẳng \(\left( P \right):x + 2y - z - 1 = 0\).
Tính góc giữa đường thẳng \(\Delta :\frac{{x + 1}}{{ - 1}} = \frac{{y - 3}}{2} = \frac{{z + 2}}{3}\) và mặt phẳng \(\left( P \right):x + y + z + 3 = 0\).
Trong không gian Oxyz, tính góc tạo bởi đường thẳng d: \(\frac{{x + 3}}{2} = \frac{{y - 2}}{{ - 2}} = \frac{{z + 1}}{1}\) và mặt phẳng (P): \(x + y - 2z + 3 = 0\).
Bản thiết kế của một công trình được vẽ trong một hệ trục tọa độ Oxyz. Sàn nhà của công trình thuộc mặt phẳng Oxy, đường ống thoát nước thẳng và đi qua hai điểm \(A\left( {1;2; - 1} \right)\) và \(B\left( {5;6; - 2} \right)\). Tính góc tạo bởi đường ống thoát nước và mặt sàn.
Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng \(d:\left\{ \begin{array}{l}x = 2 - t\\y = 3\\z = - 1 + 2t\end{array} \right.\) và mặt phẳng \(\left( P \right):2x - y - 2z + 1 = 0\). Cosin của góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (P) là
A. \(\frac{{2\sqrt 5 }}{5}\).
B. \(\frac{{\sqrt 5 }}{5}\).
C. \(\frac{{2\sqrt 3 }}{5}\).
D. \(\frac{{\sqrt 3 }}{5}\).
Tính góc giữa đường thẳng \(\Delta \) và mặt phẳng (P) trong mỗi trường hợp sau (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị của độ):
a) \(\Delta :\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + \sqrt 3 t\\y = 2\\z = 3 + t\end{array} \right.\) (t là tham số) và \(\left( P \right):\sqrt 3 x + z - 2 = 0\);
b) \(\Delta :\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + t\\y = 2 - t\\z = 3 + t\end{array} \right.\) (t là tham số) và \(\left( P \right):x + y + z - 4 = 0\).
Tính góc giữa đường thẳng \(\Delta \) và mặt phẳng (P) (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị của độ), biết \(\Delta :\left\{ \begin{array}{l}x = - 1 + 2t\\y = 4 - 3t\\z = - 1 + 4t\end{array} \right.\) (t là tham số) và \(\left( P \right):x + y + z + 3 = 0\).
Tính góc giữa đường thẳng \(d:\frac{{x + 2}}{2} = \frac{{y + 2}}{2} = \frac{{z - 1}}{1}\) và mặt phẳng \(\left( P \right):3y - 3z + 1 = 0\).
Tính góc giữa đường thẳng \(\Delta \) và mặt phẳng \(\left( P \right)\) (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị của độ), biết \(\Delta :\left\{ \begin{array}{l}x = - 1 - 5t\\y = 4 - 4t\\z = - 1 + 3t\end{array} \right.\) (với \(t\) là tham số) và \(\left( P \right):3{\rm{x}} + 4y + 5{\rm{z}} + 60 = 0\).
Trong không gian Oxyz, tính góc giữa đường thẳng:
\(\Delta :\frac{{x + 3}}{{ - 2}} = \frac{{y + 1}}{1} = \frac{{z - 1}}{2}\) và mặt phẳng \(\left( P \right):x + 2y - 2z + 3 = 0\)
Trong không gian Oxyz, góc giữa đường thẳng \(\Delta :\frac{{x + 3}}{1} = \frac{{y + 1}}{{\sqrt 2 }} = \frac{{z + 2}}{1}\) và mặt phẳng (Oxz) bằng
A. \({45^ \circ }\).
B. \({30^ \circ }\).
C. \({60^ \circ }\).
D. \({90^ \circ }\).
Trong không gian Oxyz, tại một phạm vi hẹp, (Oxy) là mặt phẳng nằm ngang. Một đường ống nước thẳng đi qua hai điểm \(A\left( {1;1;2} \right)\) và \(B\left( {1;2;1} \right)\). Hỏi đường ống nước trên nghiêng bao nhiêu độ (so với mặt phẳng nằm ngang)?
Trong không gian Oxyz, tính góc giữa đường thẳng \(d':\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}\begin{array}{l}x = - 3 + 2t\;\\y = 1 + t\quad (t \in \mathbb{R})\;\\z = 2 + t\end{array}\end{array}} \right.\) và các mặt phẳng tọa độ: \((Oxy)\), \((Oxz)\), \((Oyz)\).
Cho đường thẳng d có vector chỉ phương \(\vec a\) và mặt phẳng \((\alpha )\) có vector pháp tuyến \(\vec n\). Gọi d' là hình chiếu của d trên \((\alpha )\). Gọi \(\phi \) là góc giữa d và \((\alpha )\), còn \(\phi '\) là góc giữa \(\vec a\) và \(\vec n\).
Tính góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng \(\alpha \)
a) \(d:\frac{x}{1} = \frac{y}{2} = \frac{z}{2}\quad {\rm{và }}\quad \alpha :2x + 2y + 1 = 0\)
b) \(d:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 3 + 7t}\\{y = - 1 - 8t}\\{z = 1 - 15t}\end{array}} \right.,\quad (t \in \mathbb{R})\) và \(\alpha :2x + 2y + 1 = 0\)
c) \(d:\frac{x}{3} = \frac{y}{{ - 1}} = \frac{{z - 1}}{2},\quad \alpha :6x - 2y + 4z = 0\)
Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng \(\left( P \right):x + 2y - 2z + 3 = 0\) và đường thẳng
\(d:\frac{{x - 1}}{2} = \frac{{y + 1}}{{ - 1}} = \frac{z}{1}\). Tính góc tạo bởi đường thẳng \(d\) và mặt phẳng \(\left( P \right)\).
