Đề bài

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d: \(\frac{{x - 3}}{2} = \frac{{y - 2}}{1} = \frac{z}{1}\) và mặt phẳng (P): \(3x + 4y + 5z + 8 = 0\). Góc hợp giữa đường thẳng d và mặt phẳng (P) bằng bao nhiêu độ?

Đáp án:

Đáp án

Đáp án:

Phương pháp giải

Đường thẳng d có vecto chỉ phương \(\overrightarrow u \) và mặt phẳng có vecto pháp tuyến \(\overrightarrow n \) có \(\sin \left( {d,(P)} \right) = \left| {\cos \left( {\overrightarrow u ,\overrightarrow n } \right)} \right| = \frac{{\left| {\overrightarrow u .\overrightarrow n } \right|}}{{\left| {\overrightarrow u } \right|.\left| {\overrightarrow n } \right|}}\).

Lời giải của GV Loigiaihay.com

Vecto chỉ phương của đường thẳng d là \(\overrightarrow u  = (2;1;1)\).

Mặt phẳng (P) có vecto pháp tuyến là \(\overrightarrow n  = (3;4;5)\).

\(\sin \left( {MN,(P)} \right) = \left| {\cos \left( {\overrightarrow u ,\overrightarrow n } \right)} \right| = \frac{{\left| {2.3 + 1.4 + 1.5} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {1^2} + {1^2}} .\sqrt {{3^2} + {4^2} + {5^2}} }} = \frac{{15}}{{10\sqrt 3 }} = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\).

Vậy góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (P) bằng \({60^o}\).

Các bài tập cùng chuyên đề

Bài 1 :

Trong không gian Oxyz, tính góc giữa đường thẳng \(\Delta \) và mặt phẳng (P), với:

\(\Delta :\frac{{x + 2}}{{ - 1}} = \frac{{y - 4}}{2} = \frac{{z + 1}}{1},\left( P \right):x - y + z - 1 = 0\).

 
Xem lời giải >>
Bài 2 :

Trong không gian Oxyz, tính góc giữa trục Oz và mặt phẳng \(\left( P \right):x + 2y - z - 1 = 0\). 

 
Xem lời giải >>
Bài 3 :

Tính góc giữa đường thẳng \(\Delta :\frac{{x + 1}}{{ - 1}} = \frac{{y - 3}}{2} = \frac{{z + 2}}{3}\) và mặt phẳng \(\left( P \right):x + y + z + 3 = 0\).

 
Xem lời giải >>
Bài 4 :

Trong không gian Oxyz, tính góc tạo bởi đường thẳng d: \(\frac{{x + 3}}{2} = \frac{{y - 2}}{{ - 2}} = \frac{{z + 1}}{1}\) và mặt phẳng (P): \(x + y - 2z + 3 = 0\).

Xem lời giải >>
Bài 5 :

Bản thiết kế của một công trình được vẽ trong một hệ trục tọa độ Oxyz. Sàn nhà của công trình thuộc mặt phẳng Oxy, đường ống thoát nước thẳng và đi qua hai điểm \(A\left( {1;2; - 1} \right)\) và \(B\left( {5;6; - 2} \right)\). Tính góc tạo bởi đường ống thoát nước và mặt sàn.

Xem lời giải >>
Bài 6 :

Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng \(d:\left\{ \begin{array}{l}x = 2 - t\\y = 3\\z =  - 1 + 2t\end{array} \right.\) và mặt phẳng \(\left( P \right):2x - y - 2z + 1 = 0\). Cosin của góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (P) là

A. \(\frac{{2\sqrt 5 }}{5}\).

B. \(\frac{{\sqrt 5 }}{5}\).

C. \(\frac{{2\sqrt 3 }}{5}\).

D. \(\frac{{\sqrt 3 }}{5}\).

 
Xem lời giải >>
Bài 7 :

Tính góc giữa đường thẳng \(\Delta \) và mặt phẳng (P) trong mỗi trường hợp sau (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị của độ):

a) \(\Delta :\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + \sqrt 3 t\\y = 2\\z = 3 + t\end{array} \right.\) (t là tham số) và \(\left( P \right):\sqrt 3 x + z - 2 = 0\);

b) \(\Delta :\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + t\\y = 2 - t\\z = 3 + t\end{array} \right.\) (t là tham số) và \(\left( P \right):x + y + z - 4 = 0\).

Xem lời giải >>
Bài 8 :

Tính góc giữa đường thẳng \(\Delta \) và mặt phẳng (P) (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị của độ), biết \(\Delta :\left\{ \begin{array}{l}x =  - 1 + 2t\\y = 4 - 3t\\z =  - 1 + 4t\end{array} \right.\) (t là tham số) và \(\left( P \right):x + y + z + 3 = 0\).

Xem lời giải >>
Bài 9 :

Tính góc giữa đường thẳng \(d\) và mặt phẳng \(\left( P \right)\) trong mỗi trường hợp sau:

a) \(d:\left\{ \begin{array}{l}x = 11 + 3t\\y =  - 11 + t\\z =  - 21 - 2t\end{array} \right.\) và \(\left( P \right):6x + 2y - 4z + 7 = 0.\)

b) \(d:\frac{{x - 3}}{2} = \frac{{y + 4}}{4} = \frac{{z - 5}}{2}\) và \(\left( P \right):2x + 2y - 4z + 1 = 0.\)

c) \(d:\frac{{x + 3}}{4} = \frac{{y + 5}}{4} = \frac{{z + 11}}{2}\) và \(\left( P \right):2y - 4z + 7 = 0.\)

Xem lời giải >>
Bài 10 :

Tính góc giữa đường thẳng \(d:\frac{{x + 2}}{2} = \frac{{y + 2}}{2} = \frac{{z - 1}}{1}\) và mặt phẳng \(\left( P \right):3y - 3z + 1 = 0\).

Xem lời giải >>
Bài 11 :

Tính góc giữa đường thẳng \(\Delta \) và mặt phẳng \(\left( P \right)\) (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị của độ), biết \(\Delta :\left\{ \begin{array}{l}x =  - 1 - 5t\\y = 4 - 4t\\z =  - 1 + 3t\end{array} \right.\) (với \(t\) là tham số) và \(\left( P \right):3{\rm{x}} + 4y + 5{\rm{z}} + 60 = 0\).

Xem lời giải >>
Bài 12 :

Trong không gian Oxyz, tính góc giữa đường thẳng:

\(\Delta :\frac{{x + 3}}{{ - 2}} = \frac{{y + 1}}{1} = \frac{{z - 1}}{2}\) và mặt phẳng \(\left( P \right):x + 2y - 2z + 3 = 0\)

Xem lời giải >>
Bài 13 :

Trong không gian Oxyz, góc giữa đường thẳng \(\Delta :\frac{{x + 3}}{1} = \frac{{y + 1}}{{\sqrt 2 }} = \frac{{z + 2}}{1}\) và mặt phẳng (Oxz) bằng

A. \({45^ \circ }\).

B. \({30^ \circ }\).

C. \({60^ \circ }\).

D. \({90^ \circ }\).

Xem lời giải >>
Bài 14 :

Trong không gian Oxyz, tại một phạm vi hẹp, (Oxy) là mặt phẳng nằm ngang. Một đường ống nước thẳng đi qua hai điểm \(A\left( {1;1;2} \right)\) và \(B\left( {1;2;1} \right)\). Hỏi đường ống nước trên nghiêng bao nhiêu độ (so với mặt phẳng nằm ngang)?

Xem lời giải >>
Bài 15 :

Trong không gian Oxyz, tính góc giữa đường thẳng \(d':\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}\begin{array}{l}x =  - 3 + 2t\;\\y = 1 + t\quad (t \in \mathbb{R})\;\\z = 2 + t\end{array}\end{array}} \right.\) và các mặt phẳng tọa độ: \((Oxy)\), \((Oxz)\), \((Oyz)\).

Xem lời giải >>
Bài 16 :

Cho đường thẳng d có vector chỉ phương \(\vec a\) và mặt phẳng \((\alpha )\) có vector pháp tuyến \(\vec n\). Gọi d' là hình chiếu của d trên \((\alpha )\). Gọi \(\phi \) là góc giữa d và \((\alpha )\), còn \(\phi '\) là góc giữa \(\vec a\) và \(\vec n\).

Xem lời giải >>
Bài 17 :

Tính góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng \(\alpha \)

a) \(d:\frac{x}{1} = \frac{y}{2} = \frac{z}{2}\quad {\rm{và }}\quad \alpha :2x + 2y + 1 = 0\)

b) \(d:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 3 + 7t}\\{y =  - 1 - 8t}\\{z = 1 - 15t}\end{array}} \right.,\quad (t \in \mathbb{R})\) và \(\alpha :2x + 2y + 1 = 0\)

c) \(d:\frac{x}{3} = \frac{y}{{ - 1}} = \frac{{z - 1}}{2},\quad \alpha :6x - 2y + 4z = 0\)

Xem lời giải >>
Bài 18 :

Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng \(\left( P \right):x + 2y - 2z + 3 = 0\) và đường thẳng

\(d:\frac{{x - 1}}{2} = \frac{{y + 1}}{{ - 1}} = \frac{z}{1}\). Tính góc tạo bởi đường thẳng \(d\) và mặt phẳng \(\left( P \right)\).

Xem lời giải >>
Bài 19 :

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho điểm M(-3;-1;3) và N(-1;0;4) và mặt phẳng (P): x + 2y – z + 5 = 0. Tính góc giữa đường thẳng MN và mặt phẳng (P).

Xem lời giải >>
Bài 20 :

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, tính sin góc giữa đường thẳng d: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 2t\\y =  - 1 + 3t\\z = 2 - t\end{array} \right.\) và mặt phẳng (P): 2x – y + 2z – 1 =0.

Xem lời giải >>
Bài 21 :

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, (Oxy) là mặt đất, một máy bay cất cánh với vận tốc \(\overrightarrow v  = (150;150;40)\). Tính góc nâng của của máy bay (góc giữa hướng chuyến động bay lên của máy bay với đường băng) và làm tròn kết quả đến hàng đơn vị.

Xem lời giải >>