So sánh:

a) \(213,6(42)\) và \(213,598...\);

b) \( - 43,001\) và \( - 43,(001)\);

c) \( - \sqrt {237} \) và \( - 15\);

d) \(\sqrt {1\dfrac{{40}}{{81}}} \) và \(\sqrt {1\dfrac{{20}}{{101}}} \);

e) \(2 + \sqrt {37} \) và \(6 + \sqrt 2 \);

g) \(\dfrac{{\sqrt {{5^2}}  + \sqrt {{{15}^2}} }}{{\sqrt {{4^2}}  + \sqrt {{{36}^2}} }}\) và \(\dfrac{1}{{\sqrt {{2^2}} }}\).

a) \(213,6(42)\) và \(213,598...\);

Ta có: \(6 > 5\) nên \(213,6(42)\) > \(213,598...\)

b) \( - 43,001\) > \( - 43,(001)\);

c) \( - \sqrt {237} \) và \( - 15\);

Ta có: \( - \sqrt {237}  =  - 16,52271164...\).

Vậy \( - \sqrt {237} \) < \( - 15\).                                     

d) \(\sqrt {1\dfrac{{40}}{{81}}} \) và \(\sqrt {1\dfrac{{20}}{{101}}} \);

Ta có:

\(\sqrt {1\dfrac{{40}}{{81}}}  = \sqrt {\dfrac{{121}}{{81}}} \)

\(\sqrt {1\dfrac{{20}}{{101}}}  = \sqrt {\dfrac{{121}}{{101}}} \)

Ta thấy: \(\dfrac{{121}}{{81}} > \dfrac{{121}}{{101}} \to \sqrt {\dfrac{{121}}{{81}}}  > \sqrt {\dfrac{{121}}{{101}}} \).

Vậy \(\sqrt {1\dfrac{{40}}{{81}}} \) > \(\sqrt {1\dfrac{{20}}{{101}}} \).

e) \(2 + \sqrt {37} \) và \(6 + \sqrt 2 \);

Ta có:

\(2 + \sqrt {37}  = \sqrt 4  + \sqrt {37} \)

\(6 + \sqrt 2  = \sqrt {36}  + \sqrt 2 \)                            

Ta thấy: \(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}37 > 36 \to \sqrt {37}  > \sqrt {36} \\4 > 2 \to \sqrt 4  > \sqrt 2 \end{array} \right.\\ \Rightarrow \sqrt {37}  + \sqrt 4  > \sqrt {36}  + \sqrt 2 \end{array}\) hay \(2 + \sqrt {37}  > 6 + \sqrt 2 \).

g) \(\dfrac{{\sqrt {{5^2}}  + \sqrt {{{15}^2}} }}{{\sqrt {{4^2}}  + \sqrt {{{36}^2}} }}\) và \(\dfrac{1}{{\sqrt {{2^2}} }}\).

Ta có:

\(\dfrac{{\sqrt {{5^2}}  + \sqrt {{{15}^2}} }}{{\sqrt {{4^2}}  + \sqrt {{{36}^2}} }} = \dfrac{{5 + 15}}{{4 + 36}} = \dfrac{{20}}{{40}} = \dfrac{2}{4} = \dfrac{1}{2}\).

\(\dfrac{1}{{\sqrt {{2^2}} }} = \dfrac{1}{2}\).

Mà \(\dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{2}\) suy ra: \(\dfrac{{\sqrt {{5^2}}  + \sqrt {{{15}^2}} }}{{\sqrt {{4^2}}  + \sqrt {{{36}^2}} }}\) = \(\dfrac{1}{{\sqrt {{2^2}} }}\).