Tính thể tích khối tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi đường \(\left( E \right):\dfrac{{{x^2}}}{{16}} + \dfrac{{{y^2}}}{9} = 1\) quay quanh \(Oy\,\,?\)

\(\dfrac{{{x^2}}}{{16}} + \dfrac{{{y^2}}}{9} = 1 \Leftrightarrow {x^2} = 16\left( {1 - \dfrac{{{y^2}}}{9}} \right) \Leftrightarrow x =  \pm \dfrac{4}{3}\sqrt {9 - {y^2}} \)

Phương trình tung độ giao điểm của đồ thị \(\left( E \right)\) với $Oy$ là \(\dfrac{0}{{16}} + \dfrac{{{y^2}}}{9} = 1 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}y =  - \,3\\y = 3\end{array} \right..\)

Ta xét thể tích vật tròn xoay khi xoay hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(x = \dfrac{4}{3}\sqrt {9 - {y^2}} \), đường thẳng $x = 0, y = 3, y = 0$ quanh trục $Ox$ là: \(V = \left| {\dfrac{{16}}{9}\pi \int\limits_0^3 {\left( {9 - {y^2}} \right)dy} } \right| = \left| {\dfrac{{16}}{9}\left. {\pi \left( {9y - \dfrac{{{y^3}}}{3}} \right)} \right|_0^3} \right| = 32\pi \).

Khi đó thể tích cần tìm là \(2V = 64\pi \).