Cho hai hàm số \(y = {f_1}\left( x \right)\) và \(y = {f_2}\left( x \right)\) liên tục trên đoạn \(\left[ {a;b} \right]\) và có đồ thị như hình vẽ bên. Gọi $S$ là hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị trên và các đường thẳng \(x = a,x = b\). Thể tích $V$ của vật thể tròn xoay tạo thành khi quay $S$ quanh trục $Ox$ được tính bởi công thức nào sau đây ?
-
A.
\(V = \pi \int\limits_a^b {\left( {f_1^2(x) - f_2^2(x)} \right)} dx\).
-
B.
\(V = \pi \int\limits_a^b {\left( {{f_1}(x) - {f_2}(x)} \right)} dx\).
-
C.
\(V = \int\limits_a^b {\left( {f_1^2(x) - f_2^2(x)} \right)} dx\).
-
D.
\(V = \pi \int\limits_a^b {{{\left( {{f_1}(x) - {f_2}(x)} \right)}^2}} dx\).
Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng \(\left( H \right)\) giới hạn bởi các đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right),y = g\left( x \right)\) liên tục trên \(\left[ {a;b} \right],0 \le f\left( x \right) \le g\left( x \right),\forall x \in \left[ {a;b} \right]\) quay quanh trục \(Ox\)
Công thức tính: \(V = \pi \int\limits_a^b {\left[ {{g^2}\left( x \right) - {f^2}\left( x \right)} \right]dx} \)
Theo công thức trên ta có: \(V = \pi \int\limits_a^b {\left( {f_1^2(x) - f_2^2\left( x \right)} \right)} dx\) (vì đồ thị hàm số \(y = {f_1}\left( x \right)\) nằm phía trên đồ thị hàm số \(y = {f_2}\left( x \right)\).
Đáp án : A
Các bài tập cùng chuyên đề
Cho hình \(\left( H \right)\) giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) , trục hoành và hai đường thẳng \(x = a,x = b\). Thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay \(\left( H \right)\) quanh trục \(Ox\) là:
-
A.
\(V = \pi \int\limits_a^b {\left| {f\left( x \right)} \right|dx} \)
-
B.
\(V = \int\limits_a^b {\left| {f\left( x \right)} \right|dx} \)
-
C.
\(V = \pi \int\limits_a^b {{f^2}\left( x \right)dx} \)
-
D.
\(V = {\pi ^2}\int\limits_a^b {{f^2}\left( x \right)dx} \)
Cho hình \(\left( H \right)\) giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = {x^3}\), trục hoành và hai đường thẳng \(x = 0,x = 1\). Thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay \(\left( H \right)\) quanh trục \(Ox\) được tính bởi:
-
A.
\(V = {\pi ^2}\int\limits_0^1 {{x^3}dx} \)
-
B.
\(V = \pi \int\limits_0^1 {{x^3}dx} \)
-
C.
\(V = \pi \int\limits_0^1 {{x^6}dx} \)
-
D.
\(V = \pi \int\limits_0^1 {{x^5}dx} \)
Cho hình \(\left( H \right)\) giới hạn bởi đồ thị hàm số \(x = f\left( y \right)\) , trục tung và hai đường thẳng \(y = a,y = b\). Thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay \(\left( H \right)\) quanh trục \(Oy\) là:
-
A.
\(V = \pi \int\limits_a^b {\left| {f\left( y \right)} \right|dy} \)
-
B.
\(V = \int\limits_a^b {\left| {f\left( x \right)} \right|dx} \)
-
C.
\(V = {\pi ^2}\int\limits_a^b {{f^2}\left( x \right)dx} \)
-
D.
\(V = \pi \int\limits_a^b {{f^2}\left( y \right)dy} \)
Cho hình \(\left( H \right)\) giới hạn bởi đường cong \({y^2} + x = 0\), trục \(Oy\) và hai đường thẳng \(y = 0,y = 1\). Thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay \(\left( H \right)\) quanh trục \(Oy\) được tính bởi:
-
A.
\(V = {\pi ^2}\int\limits_0^1 {{x^4}dx} \)
-
B.
\(V = \pi \int\limits_0^1 {{y^2}dy} \)
-
C.
\(V = \pi \int\limits_0^1 {{y^4}dy} \)
-
D.
\(V = \pi \int\limits_0^1 { - {y^4}dy} \)
Cho hình phẳng $\left( H \right)$ giới hạn bởi \(y = \dfrac{1}{3}{x^3} - {x^2}\) và $Ox$. Thể tích khối tròn xoay sinh ra khi quay $\left( H \right)$ quanh $Ox$ bằng :
-
A.
\(\dfrac{{81\pi }}{{35}}\)
-
B.
\(\dfrac{{53\pi }}{6}\)
-
C.
\(\dfrac{{81}}{{35}}\)
-
D.
\(\dfrac{{21\pi }}{5}\)
Kí hiệu $\left( H \right)$ là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = 2\left( {x-1} \right){e^x}$, trục tung và trục hoành. Tính thể tích $V$ của khối tròn xoay thu được khi quay hình $\left( H \right)$ xung quanh trục $Ox$ .
-
A.
$V = 4-2e$
-
B.
$V = \left( {4-2e} \right)\pi $
-
C.
$V = {e^2}-5$
-
D.
$V = \left( {{e^2}-5} \right)\pi $
Thể tích khối tròn xoay thu được khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường \(y = {x^2} + 1;x = 0\) và tiếp tuyến của đồ thị hàm số \(y = {x^2} + 1\) tại điểm \(A\left( {1;2} \right)\) quanh trục $Ox$ là
-
A.
\(\dfrac{2}{5}\pi \)
-
B.
\(\pi \)
-
C.
\(\dfrac{1}{2}\pi \)
-
D.
\(\dfrac{8}{{15}}\pi \)
Gọi $V$ là thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường \(y = \sqrt x ,y = 0\) và $x = 4$ quanh trục $Ox$ . Đường thẳng \(x = a(0 < a < 4)\) cắt đồ thị hàm số \(y = \sqrt x \) tại $M$ (hình vẽ bên).
Gọi ${V_1}$ là thể tích khối tròn tạo thành khi quay quanh tam giác $OMH$ quanh trục $Ox$. Biết rằng \(V = 2{V_1}\) . Khi đó:
-
A.
\(a = 2\sqrt 2 \)
-
B.
$a = \dfrac{5}{2}$
-
C.
\(a = 2\)
-
D.
$a = 3$
Thể tích khối tròn xoay thu được khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường $y = \sqrt {2 - x} ;y = x$ xung quanh trục $Ox$ được tính theo công thức nào sau đây?
-
A.
$V = \pi \int\limits_0^2 {(2 - x)dx + \pi \int\limits_0^2 {{x^2}} } dx$
-
B.
$V = \pi \int\limits_0^2 {(2 - x)dx} $
-
C.
$V = \pi \int\limits_0^1 {xdx + \pi \int\limits_1^2 {\sqrt {2 - x} } } dx$
-
D.
$V = \pi \int\limits_0^1 {{x^2}dx + \pi \int\limits_1^2 {(2 - x)} } dx$
Cho vật thể \(V\) được giới hạn bởi hai mặt phẳng \(x = a\) và \(x = b\left( {a < b} \right)\), mặt phẳng vuông góc với trục \(Ox\) cắt \(V\) theo thiết diện \(S\left( x \right)\). Thể tích của \(V\) được tính bởi:
-
A.
\(V = \int\limits_a^b {S\left( x \right)dx} \)
-
B.
\(V = \pi \int\limits_a^b {S\left( x \right)dx} \)
-
C.
\(V = \int\limits_a^b {{S^2}\left( x \right)dx} \)
-
D.
\(V = \pi \int\limits_a^b {{S^2}\left( x \right)dx} \)
Cho vật thể \(V\) được giới hạn bởi hai mặt phẳng \(x = 0\) và \(x = - 2\), mặt phẳng vuông góc với trục \(Ox\) cắt \(V\) theo thiết diện \(S\left( x \right) = 2{x^2}\). Thể tích của \(V\) được tính bởi:
-
A.
\(V = \int\limits_{ - 2}^0 {4{x^4}dx} \)
-
B.
\(V = \int\limits_0^{ - 2} {2{x^2}dx} \)
-
C.
\(V = \int\limits_{ - 2}^0 {2{x^2}dx} \)
-
D.
\(V = \pi \int\limits_{ - 2}^0 {4{x^4}dx} \)
Tính thể tích $V$ của phần vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng \(x = 1\) và \(x = 3\), biết rằng khi cắt vật thể bởi mặt phẳng vuông góc với trục $Ox$ tại điểm có hoành độ \(x\) (\(1 \le x \le 3\)) thì được thiết diện là một hình chữ nhật có độ dài hai cạnh là \(3x\) và \(\sqrt {3{x^2} - 2} \).
-
A.
\(V = 32 + 2\sqrt {15} \)
-
B.
\(V = \dfrac{{124\pi }}{3}\)
-
C.
\(V = \dfrac{{124}}{3}\)
-
D.
\(V = (32 + 2\sqrt {15} )\pi \)
Cho hình phẳng giới hạn bởi $D = \left\{ {y = \tan x;\,\,y = 0;\,\,x = 0;\,\,x = \dfrac{\pi }{3}} \right\}.$ Thể tích vật tròn xoay khi $D$ quay quanh trục $Ox$ là $V = \pi \left( {a - \dfrac{\pi }{b}} \right),$ với $a,\,\,b \in R.$ Tính $T = {a^2} + 2b.$
-
A.
$T = 6.$
-
B.
$T = 9.$
-
C.
$T = 12.$
-
D.
$T = 3.$
Tính thể tích khi $S = \left\{ {y = {x^2} - 4x + 6;\,\,y = - \,{x^2} - 2x + 6} \right\}$ quay quanh trục $Ox.$
-
A.
$V = 3.$
-
B.
$V = \dfrac{\pi }{3}.$
-
C.
$V = \pi .$
-
D.
$V = 3\pi .$
Thể tích khối tròn xoay sinh ra bởi phép quay xung quanh $Ox$ của hình giới hạn bởi trục $Ox$ và parabol $\left( P \right):y = {x^2} - ax\,\,\,\,\left( {a > 0} \right)$ bằng $V = 2.$ Khẳng định nào dưới đây đúng ?
-
A.
$a \in \left( {\dfrac{1}{2};1} \right).$
-
B.
$a \in \left( {1;\dfrac{3}{2}} \right).$
-
C.
$a \in \left( {\dfrac{3}{2};2} \right).$
-
D.
$a \in \left( {2;\dfrac{5}{2}} \right).$
Cho hình phẳng $\left( H \right)$ giới hạn bởi các đường $y = - \,{x^2} + 2x$ và $y = 0$. Tính thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình $\left( H \right)$ quanh trục $Oy$ là
-
A.
$V = \dfrac{7}{3}\pi .$
-
B.
$V = \dfrac{8}{3}\pi .$
-
C.
$V = \dfrac{{10}}{3}\pi .$
-
D.
$V = \dfrac{{16}}{3}\pi .$
Tính thể tích khối tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi đường \(\left( E \right):\dfrac{{{x^2}}}{{16}} + \dfrac{{{y^2}}}{9} = 1\) quay quanh \(Oy\,\,?\)
-
A.
$V = 36\pi .$
-
B.
$V = 24\pi .$
-
C.
$V = 16\pi .$
-
D.
$V = 64\pi .$
Thể tích khối tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị $y = - \,\sqrt {4 - {x^2}} ,\,\,{x^2} + 3y = 0$ quay quanh trục $Ox$ là $V = \dfrac{{a\pi \sqrt 3 }}{b},$ với $a,\,\,b > 0$ và $\dfrac{a}{b}$ là phân số tối giản. Tính tổng $T = a + b.$
-
A.
$T = 33.$
-
B.
$T = 31.$
-
C.
$T = 29.$
-
D.
$T = 27.$
Tính thể tích hình xuyến do quay hình tròn có phương trình ${x^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} = 1$ khi quanh trục $Ox.$
-
A.
$V = 6{\pi ^2}.$
-
B.
$V = 4{\pi ^2}.$
-
C.
$V = 2{\pi ^2}.$
-
D.
$V = 8{\pi ^2}.$
Gọi \(\left( {{D_1}} \right)\) là hình phẳng giới hạn bởi các đường \(y = 2\sqrt x ,\,\,y = 0\) và \(x = 2020,\) \(\left( {{D_2}} \right)\) là hình phẳng giới hạn bởi các đường \(y = \sqrt {3 x},\,\,y = 0\) và \(x = 2020.\) Gọi \({V_1},\,\,{V_2}\) lần lượt là thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay \(\left( {{D_1}} \right)\) và \(\left( {{D_2}} \right)\) xung quanh trục \(Ox.\) Tỉ số \(\dfrac{{{V_1}}}{{{V_2}}}\) bằng:
-
A.
\(\dfrac{4}{3}\)
-
B.
\(\dfrac{{2\sqrt 3 }}{3}\)
-
C.
\(\dfrac{2}{3}\)
-
D.
\(\dfrac{{\sqrt 6 }}{3}\)
