Cho hàm số \(f\left( x \right)\) có đồ thị như hình bên. Phương trình \(f\left[ {f\left( {\cos x} \right) - 1} \right] = 0\) có bao nhiêu nghiệm thuộc đoạn \(\left[ {0;2\pi } \right]\)?
-
A.
\(2\).
-
B.
\(5\).
-
C.
\(4\).
-
D.
\(6\).
Giao điểm của đồ thị hàm số \(y{\rm{ }} = {\rm{ }}f\left( x \right)\) và \(y{\rm{ }} = {\rm{ }}g\left( x \right)\) có tọa độ là nghiệm của hệ phương trình \(y{\rm{ }} = {\rm{ }}f\left( x \right)\) và \(y{\rm{ }} = {\rm{ }}g\left( x \right)\).
Phương trình hoành độ giao điểm: cho \(f\left( x \right) = g\left( x \right)\) (1)
Số giao điểm của 2 đồ thị bằng nghiệm của phương trình (1).
Tương giao đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) và trục hoành
Ta có phương trình hoành độ giao điểm như sau: \(f\left( x \right) = 0\)
Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy:
\(f\left[ {f\left( {\cos x} \right) - 1} \right] = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}f\left( {\cos x} \right) - 1 = a \in \left( { - 2; - 1} \right)\\f\left( {\cos x} \right) - 1 = b \in \left( { - 1;0} \right)\\f\left( {\cos x} \right) - 1 = c \in \left( {1;2} \right)\end{array} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}f\left( {\cos x} \right) = a + 1 \in \left( { - 1;0} \right)\\f\left( {\cos x} \right) = b + 1 \in \left( {0;1} \right)\\f\left( {\cos x} \right) = c + 1 \in \left( {2;3} \right)\end{array} \right.\)
• Xét phương trình \(f\left( {\cos x} \right) = a + 1 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\cos x = {\alpha _1} < - 1\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\\\cos x = {\alpha _2} \in \left( { - 1;0} \right)\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\\\cos x = {\alpha _3} > 1\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 3 \right)\end{array} \right.\)
Vì \(\cos x \in \left[ { - 1;1} \right]\) nên phương trình \(\left( 1 \right),\,\left( 3 \right)\) vô nghiệm và phương trình \(\left( 2 \right)\) có 2 nghiệm thuộc đoạn \(\left[ {0;2\pi } \right]\).
• Xét phương trình \(f\left( {\cos x} \right) = b + 1 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\cos x = {\beta _1} < - 1\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 4 \right)\\\cos x = {\beta _2} \in \left( { - 1;0} \right)\,\,\,\,\,\,\,\left( 5 \right)\\\cos x = {\beta _3} > 1\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 6 \right)\end{array} \right.\)
Vì \(\cos x \in \left[ { - 1;1} \right]\) nên phương trình \(\left( 4 \right),\,\left( 6 \right)\) vô nghiệm và phương trình \(\left( 5 \right)\) có 2 nghiệm thuộc đoạn \(\left[ {0;2\pi } \right]\).
• Xét phương trình \(f\left( {\cos x} \right) = c + 1 \Leftrightarrow \cos x = t > 2\)
Nhận xét hai nghiệm của phương trình \(\left( 5 \right)\) không trùng với nghiệm nào của phương trình \(\left( 2 \right)\) nên phương trình \(f\left[ {f\left( {\cos x} \right) - 1} \right] = 0\) có 4 nghiệm phận biệt.
Đáp án : C
Các bài tập cùng chuyên đề
Tập xác định của hàm số \(y = \tan \,\left( {2x - \frac{\pi }{3}} \right)\) là
Hàm số \(y = \cot {\rm{2x}}\)có tập xác định là
Hàm số nào đồng biến trên khoảng \(\left( { - \frac{\pi }{3};\frac{\pi }{6}} \right)\):
Tìm hàm số chẵn trong các hàm số sau
Khẳng định nào sau đây là sai về tính tuần hoàn và chu kì của các hàm số?
Tập xác định của hàm số \(y = \cot \left( {x + \frac{\pi }{6}} \right) + \sqrt {\frac{{1 + \cos x}}{{1 - \cos x}}} \) là:
Tìm tất cả giá trị \(m\) để hàm số\(y = \sqrt {{m^2} - \sin x} \) hàm số có tập xác định là \(\mathbb{R}.\)
Xét sự biến thiên của hàm số \(y = \sin x - \cos x.\) Trong các kết luận sau, kết luận nào đúng?
Tập xác định của hàm số \(y = \frac{{3\tan x - 5}}{{1 - {{\sin }^2}x}}\) là:
Cho đồ thị hàm số \(y = \sin x\) như hình vẽ. Hình vẽ nào sau đây là đồ thị của hàm số \(y = \sin \left( {\left| x \right|} \right)\)
Hình nào sau đây là đồ thị hàm số \(y = \cos x + 2\)?
Tìm chu kì của hàm số \(f\left( x \right) = \sin \frac{x}{2} + 2\cos \frac{{3x}}{2}\).
Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y = \sin x\) trên đoạn \(\left[ { - \frac{\pi }{2}; - \frac{\pi }{3}} \right]\) lần lượt là:
Cho \(f\left( x \right) = \frac{{\cos 2x}}{{1 + {{\sin }^2}3x}},\,\,g\left( x \right) = \frac{{\left| {\sin 2x} \right| - \cos 3x}}{{2 + {{\tan }^2}x}}\). Khẳng định nào đúng trong các khẳng định sau đây?
Hàm số \(y = \sin x\cos x + \frac{{\sqrt 3 }}{2}\cos 2x\) tuần hoàn với chu kì?
Xác định tất cả các giá trị của tham số \(m\) để hàm số \(y = f\left( x \right) = 3m\,{\rm{sin4x}} + \cos 2{\rm{x}}\) là hàm chẵn.
Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y = 2{\cos ^2}x - 2\sqrt 3 \sin x.\cos x + 1\) trên đoạn \(\left[ {0,\frac{{7\pi }}{{12}}} \right]\) lần lượt là
Hằng ngày, mực nước của một con kênh lên xuống theo thủy triều. Độ sâu h\((m)\) của con kênh tính theo thời gian \(t\) (giờ) trong một ngày được cho bởi công thức: \(h = \frac{1}{2}\cos \left( {\frac{{\pi t}}{8} + \frac{\pi }{4}} \right) + 3\). Thời điểm mực nước của kênh cao nhất là:
Tập xác định của hàm số \(y = \tan \left( {\frac{\pi }{2}\cos x} \right)\) là
