Xét sự biến thiên của hàm số \(y = \sin x - \cos x.\) Trong các kết luận sau, kết luận nào đúng?
-
A.
Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng \(\left( { - \frac{\pi }{4};\,\frac{{3\pi }}{4}} \right).\)
-
B.
Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng \(\left( {\frac{{3\pi }}{4};\,\frac{{7\pi }}{4}} \right).\)
-
C.
Hàm số đã cho có tập giá trị là\(\left[ { - 1;\,\,1} \right].\)
-
D.
Hàm số đã cho luôn nghịch biến trên khoảng \(\left( { - \frac{\pi }{4};\,\frac{{7\pi }}{4}} \right).\)
-Biến đổi \(\sin x - \cos x = \sqrt 2 sin\left( {x - \frac{\pi }{4}} \right).\)
-Xác định chu kì tuần hoàn của hàm số và suy ra các khoảng đơn điệu của hàm số
- Hàm số \(y = {\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}}\) đồng (nghịch) biến trên \(\left( {a;b} \right)\) thì hàm số \(y = \sin (x - k)\) sẽ đồng (nghịch) biến trên khoảng \(\left( {a + k;b + k} \right)\)
Ta có \(\sin x - \cos x = \sqrt 2 sin\left( {x - \frac{\pi }{4}} \right)\) nên tập giá trị của hàm số là \(\left[ { - \sqrt 2 ;\,\sqrt 2 } \right]\) do đó loại
C
Hàm số đã cho tuần hoàn với chu kỳ \(2\pi \), ta xét sự biến thiên của hàm số trên đoạn \(\left[ { - \frac{\pi }{4};\,\frac{{7\pi }}{4}} \right].\)
Ta áp dụng kết quả sau
“Hàm số \(y = {\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}}\) đồng (nghịch) biến trên \(\left( {a;b} \right)\) thì hàm số \(y = \sin (x - k)\) sẽ đồng (nghịch) biến trên khoảng \(\left( {a + k;b + k} \right)\)”
- Hàm số \(y = {\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}}\) đồng biến trên \(\left( {\frac{\pi }{2};\frac{{3\pi }}{2}} \right)\)
Thay \(a = - \frac{\pi }{2};b = \frac{\pi }{2},k = \frac{\pi }{4}\) khi đó hàm số
\(y = \sin (x - k) = \sin \left( {x - \frac{\pi }{4}} \right)\) nghịch biến trên khoảng \(\left( { - \frac{\pi }{2} + \frac{\pi }{4};\frac{\pi }{2} + \frac{\pi }{4}} \right) = \left( { - \frac{\pi }{4};\frac{{3\pi }}{4}} \right)\)
Suy ra A đúng
- Hàm số \(y = {\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}}\) nghịch biến trên \(\left( {\frac{\pi }{2};\frac{{3\pi }}{2}} \right)\)
Thay \(a = \frac{\pi }{2};b = \frac{{3\pi }}{2},k = \frac{\pi }{4}\) khi đó hàm số
\(y = \sin (x - k) = \sin \left( {x - \frac{\pi }{4}} \right)\) nghịch biến trên khoảng \(\left( {\frac{\pi }{2} + \frac{\pi }{4};\frac{{3\pi }}{2} + \frac{\pi }{4}} \right) = \left( {\frac{{3\pi }}{4};\frac{{7\pi }}{4}} \right)\)
Suy ra loại B,D
Đáp án : A
Các bài tập cùng chuyên đề
Tập xác định của hàm số \(y = \tan \,\left( {2x - \frac{\pi }{3}} \right)\) là
Hàm số \(y = \cot {\rm{2x}}\)có tập xác định là
Hàm số nào đồng biến trên khoảng \(\left( { - \frac{\pi }{3};\frac{\pi }{6}} \right)\):
Tìm hàm số chẵn trong các hàm số sau
Khẳng định nào sau đây là sai về tính tuần hoàn và chu kì của các hàm số?
Tập xác định của hàm số \(y = \cot \left( {x + \frac{\pi }{6}} \right) + \sqrt {\frac{{1 + \cos x}}{{1 - \cos x}}} \) là:
Tìm tất cả giá trị \(m\) để hàm số\(y = \sqrt {{m^2} - \sin x} \) hàm số có tập xác định là \(\mathbb{R}.\)
Tập xác định của hàm số \(y = \frac{{3\tan x - 5}}{{1 - {{\sin }^2}x}}\) là:
Cho đồ thị hàm số \(y = \sin x\) như hình vẽ. Hình vẽ nào sau đây là đồ thị của hàm số \(y = \sin \left( {\left| x \right|} \right)\)
Hình nào sau đây là đồ thị hàm số \(y = \cos x + 2\)?
Tìm chu kì của hàm số \(f\left( x \right) = \sin \frac{x}{2} + 2\cos \frac{{3x}}{2}\).
Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y = \sin x\) trên đoạn \(\left[ { - \frac{\pi }{2}; - \frac{\pi }{3}} \right]\) lần lượt là:
Cho \(f\left( x \right) = \frac{{\cos 2x}}{{1 + {{\sin }^2}3x}},\,\,g\left( x \right) = \frac{{\left| {\sin 2x} \right| - \cos 3x}}{{2 + {{\tan }^2}x}}\). Khẳng định nào đúng trong các khẳng định sau đây?
Hàm số \(y = \sin x\cos x + \frac{{\sqrt 3 }}{2}\cos 2x\) tuần hoàn với chu kì?
Xác định tất cả các giá trị của tham số \(m\) để hàm số \(y = f\left( x \right) = 3m\,{\rm{sin4x}} + \cos 2{\rm{x}}\) là hàm chẵn.
Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y = 2{\cos ^2}x - 2\sqrt 3 \sin x.\cos x + 1\) trên đoạn \(\left[ {0,\frac{{7\pi }}{{12}}} \right]\) lần lượt là
Hằng ngày, mực nước của một con kênh lên xuống theo thủy triều. Độ sâu h\((m)\) của con kênh tính theo thời gian \(t\) (giờ) trong một ngày được cho bởi công thức: \(h = \frac{1}{2}\cos \left( {\frac{{\pi t}}{8} + \frac{\pi }{4}} \right) + 3\). Thời điểm mực nước của kênh cao nhất là:
Tập xác định của hàm số \(y = \tan \left( {\frac{\pi }{2}\cos x} \right)\) là
Cho hàm số \(f\left( x \right)\) có đồ thị như hình bên. Phương trình \(f\left[ {f\left( {\cos x} \right) - 1} \right] = 0\) có bao nhiêu nghiệm thuộc đoạn \(\left[ {0;2\pi } \right]\)?
