Bài 8 trang 120 SGK Toán 11 tập 1 - Cánh Diều

Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’. Lấy M, M’ lần lượt là trung điểm các đoạn thẳng BC, B’C’; lấy các điểm G, G’, K lần lượt thuộc các đoạn AM, A’M’, A’B sao cho \(\frac{{AG}}{{AM}} = \frac{{A'G'}}{{A'M'}} = \frac{{A'K}}{{A'B}} = \frac{2}{3}\)

Tổng hợp đề thi học kì 1 lớp 11 tất cả các môn - Cánh diều

Toán - Văn - Anh - Lí - Hóa - Sinh

Đề bài

Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’. Lấy M, M’ lần lượt là trung điểm các đoạn thẳng BC, B’C’; lấy các điểm G, G’, K lần lượt thuộc các đoạn AM, A’M’, A’B sao cho \(\frac{{AG}}{{AM}} = \frac{{A'G'}}{{A'M'}} = \frac{{A'K}}{{A'B}} = \frac{2}{3}\)

a) Chứng minh rằng CM’ // (A’BM’)

b) Chứng minh rằng G’K // (BCC’B’)

c) Chứng minh rằng (GG’K) // (BCC’B’)

d) Gọi\(\left( \alpha \right)\)là mặt phẳng đi qua K và song song với mặt phẳng (ABC). Mặt phẳng\(\left( \alpha \right)\)cắt cạnh CC’ tại điểm I. Tính \(\frac{{IC}}{{IC'}}\)

Phương pháp giải - Xem chi tiết

a,b, Đường thẳng d // (P) nếu d //d', d' nằm trong (P).

c, (P)//(Q) nếu d,d' nằm trong (P) và d, d'//(Q).

Lời giải chi tiết

a) Trong mp(BCC’B’) có tứ giác BCC’B’ là hình bình hành nên BC // B’C’ và BC = B’C’.

Lại có M, N lần lượt là trung điểm của BC, B’C’ nên BM = C’M’ = ½ BC = ½ B’C’.

Tứ giác BMC’M’ có BM // C’M’ (do BC // B’C’) và BM = C’M’ nên BMC’M’ là hình bình hành

Do đó C’M // M’B, mà M’B ⊂ (A’BM’) nên C’M // (A’BM’).

b) Trong mp(A’BM’), xét ∆A’BM’ có \(\frac{{A'G'}}{{A'M'}} = \frac{{A'K}}{{A'B}} = \frac{2}{3}\) nên G’K // M’B (theo định lí Thalès đảo)

Mà M’B ⊂ (BCC’B’) nên G’K // (BCC’B’).

c) Trong mp(BCC’B’), tứ giác CMM’C’ có C’M’ // CM và C’M’ = CM = ½ BC = ½ B’C’

Do đó tứ giác CMM’C’ là hình bình hành nên M’M // C’C và M’M = C’C.

Mà A’A // C’C và A’A = C’C nên A’A // M’M và A’A = M’M.

Khi đó AMM’A’ là hình bình hành nên A’M’ // AM và A’M’ = AM.

Lại có\(\frac{{AG}}{{AM}} = \frac{{A'G'}}{{A'M'}} = \frac{2}{3}\) nên A’G’ = AG, do đó G’M’ = GM.

Xét tứ giác GMM’G’ có: G’M’ = GM (do A’M’ // AM) và G’M’ = GM.

Do đó GMM’G’ là hình bình hành nên G’G // M’M

Lại có M’M ⊂ (BCC’B’) nên G’G // (BCC’B’).

Ta có: G’K // (BCC’B’);

G’G // (BCC’B’);

G’K, G’G cắt nhau tại điểm G’ và cùng nằm trong (GG’K)

Do đó (GG’K) // ((BCC’B’).

d) Trong mp(ABB’A’), vẽ đường thẳng qua K và song song với AB, A’B’; cắt A’A và B’B lần lượt tại J và H.

Trong mp (ACC’A”), vẽ đường thẳng qua J và song song với AC, A’C’; cắt C’C tại I.

Ta có: IJ // AC mà AC ⊂ (ABC) nên IJ // (ABC);

JK // AB mà AB ⊂ (ABC) nên JK // (ABC).

Lại có IJ và JK cắt nhau tại J và cùng nằm trong mp(IJK) nên (IJK) // (ABC).

Theo bài, mp(α) // (ABC) và đi qua K nên mp(α) chính là mp(IJK).

Khi đó CC’ cắt (α) tại I.

Ta có: (IJK) // (ABC) mà (ABC) // (A’B’C’) nên (A’B’C’), (IJK), (ABC) là ba mặt phẳng song song với nhau.

Xét hai cát tuyến C’C và A’B bất kì cắt ba mặt phẳng song song (A’B’C’), (IJK), (ABC) lần lượt tại các điểm C’, I, C và A’, K, B. Khi đó theo định lí Thalès trong không gian ta có:\(\frac{{C'I}}{{A'K}} = \frac{{IC}}{{KB}}\)

Suy ra \(\frac{{KB}}{{A'K}} = \frac{{IC}}{{C'I}}\)

Theo bài, \(\frac{{A'K}}{{A'B}} = \frac{2}{3}\) nên \(\frac{{A'B}}{{A'K}} = \frac{3}{2}\) do đó \(\frac{{A'B - A'K}}{{A'K}} = \frac{{3 - 2}}{2}\) hay \(\frac{{KB}}{{A'K}} = \frac{1}{2}\)

Vậy \(\frac{{IC}}{{IC'}} = \frac{{KB}}{{A'K}} = \frac{1}{2}\).

Bình luận

Chia sẻ

Bình chọn:

4.9 trên 7 phiếu

Bài tiếp theo

Bài 9 trang 120 SGK Toán 11 tập 1 - Cánh Diều
Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB, C’D’.
Bài 10 trang 120 SGK Toán 11 tập 1 - Cánh Diều
Một khối gỗ có các mặt đều là một phần của mặt phẳng với (ABCD) // (EFGH), CK // DH. Khối gỗ bị hỏng một góc (Hình 91). Bác thợ mộc muốn làm đẹp khối gỗ bằng cách cắt khối gỗ theo mặt phẳng (R) đi qua K và song song với mặt phẳng (ABCD).
Bài 7 trang 120 SGK Toán 11 tập 1 - Cánh Diều
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang (AB // CD) và AB = 2CD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh SA, SB. Chứng minh rằng:
Bài 6 trang 120 SGK Toán 11 tập 1 - Cánh Diều
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh BC, SD. Xác định giao tuyến của mặt phẳng (AMN) với mỗi mặt phẳng sau:
Bài 5 trang 120 SGK Toán 11 tập 1 - Cánh Diều
Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BD. Điểm P thuộc cạnh AC sao cho PA = 2PC
Bài 4 trang 120 SGK Toán 11 tập 1 - Cánh Diều
Trong không gian, hai mặt phẳng song song với nhau khi và chỉ khi:
Bài 3 trang 120 SGK Toán 11 tập 1 - Cánh Diều
Trong không gian, đường thẳng song song với mặt phẳng khi và chỉ khi:
Bài 2 trang 120 SGK Toán 11 tập 1 - Cánh Diều
Cho hai đường thẳng phân biệt a và b trong không gian. Có bao nhiêu vị trí tương đối giữa a và b?
Bài 1 trang 120 SGK Toán 11 tập 1 - Cánh Diều
Trong không gian, hai đường thẳng song song với nhau khi và chỉ khi: