Bài 1.17 trang 19 SGK Toán 11 tập 1 - Cùng khám phá

Chứng minh các đẳng thức sau (giả sử các biểu thức đều có nghĩa):

Đề bài

Chứng minh các đẳng thức sau (giả sử các biểu thức đều có nghĩa):

a) \({\cos ^4}\alpha - {\sin ^4}\alpha = \cos 2\alpha ;\)

b) \(\sin \left( {a + b} \right)\sin \left( {a - b} \right) = {\cos ^2}b - {\cos ^2}a;\)

c) \(\frac{{\sin a + \sin 2a}}{{1 + \cos a + \cos 2a}} = \tan a.\)

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Biến đổi vế trái (thường là vế phức tạp hơn) thành vế phải (thường là vế đơn giản hơn).

Áp dụng công thức nhân đôi, công thức biến tích thành tổng.

Lời giải chi tiết

\(\begin{array}{l}{\cos ^4}\alpha - {\sin ^4}\alpha = {\left( {{{\cos }^2}\alpha } \right)^2} - {\left( {{{\sin }^2}\alpha } \right)^2}\\ = \left( {{{\cos }^2}\alpha - {{\sin }^2}\alpha } \right)\left( {{{\cos }^2}\alpha + {{\sin }^2}\alpha } \right)\\ = \cos 2\alpha .1 = \cos 2\alpha \end{array}\)

\(\begin{array}{l}\sin \left( {a + b} \right)\sin \left( {a - b} \right) = \frac{1}{2}\left[ {\cos \left( {a + b - a + b} \right) - \cos \left( {a + b + a - b} \right)} \right]\\ = \frac{1}{2}\left( {\cos 2b - \cos 2a} \right) = \frac{1}{2}\left( {2{{\cos }^2}b - 1 - 2{{\cos }^2}a + 1} \right)\\ = \frac{1}{2}\left( {2{{\cos }^2}b - 2{{\cos }^2}a} \right) = {\cos ^2}b - {\cos ^2}a\end{array}\)

\(\begin{array}{l}\frac{{\sin a + \sin 2a}}{{1 + \cos a + \cos 2a}} = \frac{{\sin a + 2\sin a\cos a}}{{1 + \cos a + 2{{\cos }^2}a - 1}}\\ = \frac{{\sin a\left( {1 + 2\cos a} \right)}}{{\cos a + 2{{\cos }^2}a}} = \frac{{\sin a\left( {1 + 2\cos a} \right)}}{{\cos a\left( {1 + 2\cos a} \right)}}\\ = \frac{{\sin a}}{{\cos a}} = \tan a\end{array}\)

Bình luận

Chia sẻ

Bình chọn:

4.9 trên 7 phiếu

Bài tiếp theo

Bài 1.16 trang 19 SGK Toán 11 tập 1 - Cùng khám phá
Một vận động viên bắn súng nằm trên mặt đất để ngắm bắn các mục tiêu khác nhau trên một bức tường thẳng đứng. Vận động viên bắn trúng một mục tiêu cách mặt đất 20 m tại một góc ngắm (góc hợp bởi phương bắn và phương ngang).
Bài 1.15 trang 19 SGK Toán 11 tập 1 - Cùng khám phá
Cho góc (alpha ) như trong Hình 1.30. Tính (tan alpha ).
Bài 1.14 trang 19 SGK Toán 11 tập 1 - Cùng khám phá
Cho tam giác có số đo các góc như Hình 1.29. Tính (cos A).
Bài 1.13 trang 19 SGK Toán 11 tập 1 - Cùng khám phá
Không dùng máy tính cầm tay, tính:
Bài 1.12 trang 19 SGK Toán 11 tập 1 - Cùng khám phá
Biết (cos alpha = - frac{1}{5}) và (pi < alpha < frac{{3pi }}{2}), tính:
Bài 1.11 trang 19 SGK Toán 11 tập 1 - Cùng khám phá
Không dùng máy tính cầm tay, tính:
Giải mục 3 trang 18, 19 SGK Toán 11 tập 1 - Cùng khám phá
Từ các công thức cộng, hãy tính: a) (cos left( {a - b} right) + cos left( {a + b} right)) theo (cos a) và (cos b).
Giải mục 2 trang 17, 18 SGK Toán 11 tập 1 - Cùng khám phá
Nếu cho b = a trong các công thức: (sin (a + b) = sin acos b + cos asin b;)
Giải mục 1 trang 16, 17 SGK Toán 11 tập 1 - Cùng khám phá
Cho hai góc a và b, với (0 < b < a < pi ). Trên đường tròn lượng giác, xét các điểm (Pleft( {cos a;sin a} right)) và (Qleft( {cos b;sin b} right)).
Lý thuyết Các phép biến đổi lượng giác - SGK Toán 11 Cùng khám phá
1. Công thức cộng