Lý thuyết Hàm số liên tục - SGK Toán 11 Chân trời sáng tạo

1. Hàm số liên tục tại 1 điểm

1. Hàm số liên tục tại 1 điểm

Cho hàm \(y = f(x)\) xác định trên khoảng K, \({x_0} \in K\). Hàm số \(f(x)\) được gọi là liên tục tại điểm \({x_0}\) nếu \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f(x) = f({x_0})\).

Hàm số không liên tục tại \({x_0}\) được gọi là gián đoạn tại điểm đó.

*Nhận xét: Để hàm số \(y = f(x)\) liên tục tại \({x_0}\) thì phải có cả 3 điều sau:

Hàm số xác định tại \({x_0}\).
Tồn tại \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f(x)\)
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f(x) = f({x_0})\)

2. Hàm số liên tục trên một khoảng, trên một đoạn

- Hàm số \(y = f(x)\) xác định trên khoảng \(\left( {a;b} \right)\)

Hàm số \(y = f(x)\)được gọi là liên tục trên khoảng \(\left( {a;b} \right)\)nếu nó liên tục tại mọi điểm thuộc khoảng này.

- Hàm số \(y = f(x)\)được gọi là liên tục trên đoạn \(\left[ {a;b} \right]\)nếu nó liên tục trên khoảng \(\left( {a;b} \right)\)và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {a^ + }} f(x) = f(a),\mathop {\lim }\limits_{x \to {b^ - }} f(x) = f(b)\).

* Nhận xét:

- Đồ thị hàm số liên tục trên một khoảng, đoạn là “đường liền” trên khoảng, đoạn đó.

- Nếu hàm số\(y = f(x)\) liên tục trên đoạn \(\left[ {a;b} \right]\) và \(f(a).f(b) < 0\)thì phương trình \(f(x) = 0\)có ít nhất một nghiệm trên khoảng \(\left( {a;b} \right)\).

3. Tính liên tục của hàm sơ cấp cơ bản

- Hàm số đa thức và hàm số \(y = {\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}},y = c{\rm{osx}}\) liên tục trên \(\mathbb{R}\).

- Các hàm số \(y = \tan {\rm{x}},y = c{\rm{otx,}}y = \sqrt x \)và hàm phân thức hữu tỉ (thương của hai đa thức) liên tục trên tập xác định của chúng.

2. Tổng, hiệu, tích, thương của hàm số liên tục

Giả sử hai hàm số \(y = f(x)\) và \(y = g(x)\) liên tục tại điểm \({x_0}\). Khi đó:

a, Các hàm số \(y = f(x) \pm g(x)\)và \(y = f(x).g(x)\) liên tục tại điểm \({x_0}\).

b, Hàm số \(y = \frac{{f(x)}}{{g(x)}}\) liên tục tại điểm \({x_0}\)nếu \(g({x_0}) \ne 0\).

Bình luận

Chia sẻ

Bình chọn:

3.8 trên 4 phiếu

Bài tiếp theo

Giải mục 1 trang 80, 81 SGK Toán 11 tập 1 - Chân trời sáng tạo
Cho hàm số \(y = f\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}1&{khi\,\,0 \le x \le 1}\\{1 + x}&{khi\,\,1 < x \le 2}\\{5 - x}&{khi\,\,2 < x \le 3}\end{array}} \right.\) có đồ thị như Hình 1.
Giải mục 2 trang 82 SGK Toán 11 tập 1 - Chân trời sáng tạo
Cho hàm số \(y = f\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x + 1}&{khi\,\,1 < x \le 2}\\k&{khi\,\,x = 1}\end{array}} \right.\).
Giải mục 3 trang 82, 83 SGK Toán 11 tập 1 - Chân trời sáng tạo
Cho hai hàm số \(y = f\left( x \right) = \frac{1}{{x - 1}}\) và \(y = g\left( x \right) = \sqrt {4 - x} \).
Giải mục 4 trang 83, 84 SGK Toán 11 tập 1 - Chân trời sáng tạo
Cho hai hàm số \(y = f\left( x \right) = \frac{1}{{x - 1}}\) và \(y = g\left( x \right) = \sqrt {4 - x} \).
Bài 1 trang 84 SGK Toán 11 tập 1 - Chân trời sáng tạo
Xét tính liên tục của hàm số:
Bài 2 trang 84 SGK Toán 11 tập 1 - Chân trời sáng tạo
Cho hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{{{x^2} - 4}}{{x + 2}}}&{khi\,\,x \ne - 2}\\a&{khi\,\,x = - 2}\end{array}} \right.\).
Bài 3 trang 85 SGK Toán 11 tập 1 - Chân trời sáng tạo
Xét tính liên tục của các hàm số sau:
Bài 4 trang 85 SGK Toán 11 tập 1 - Chân trời sáng tạo
Cho hàm số \(f\left( x \right) = 2x - \sin x,g\left( x \right) = \sqrt {x - 1} \).
Bài 5 trang 85 SGK Toán 11 tập 1 - Chân trời sáng tạo
Một bãi đậu xe ô tô đưa ra giá \(C\left( x \right)\) (đồng) khi thời gian đậu xe là \(x\) (giờ) như sau:
Bài 6 trang 85 SGK Toán 11 tập 1 - Chân trời sáng tạo
Lực hấp dẫn do Trái Đất tác dụng lên một đơn vị khối lượng ở khoảng cách \(r\) ở tỉnh từ tâm của nó là