Bài tập cuối chương 1 - Toán 12 Kết nối tri thức

Giải bài tập 1.40 trang 43 SGK Toán 12 tập 1 - Kết nối tri thức

Xét chiều biến thiên và tìm các cực trị (nếu có) của các hàm số sau: a) (y = {x^3} - 3{x^2} + 3x - 1); b) (y = {x^4} - 2{x^2} - 1); c) (y = frac{{2x - 1}}{{3x + 1}}); d) (y = frac{{{x^2} + 2x + 2}}{{x + 1}}).

Đề bài

Xét chiều biến thiên và tìm các cực trị (nếu có) của các hàm số sau:
a) \(y = {x^3} - 3{x^2} + 3x - 1\);
b) \(y = {x^4} - 2{x^2} - 1\);
c) \(y = \frac{{2x - 1}}{{3x + 1}}\);
d) \(y = \frac{{{x^2} + 2x + 2}}{{x + 1}}\).

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Sử dụng kiến thức về cách tìm cực trị của hàm số \(y = f\left( x \right)\) để tìm cực trị của hàm số:

1. Tìm tập xác định của hàm số.

2. Tính đạo hàm f’(x). Tìm các điểm mà tại đó đạo hàm f’(x) bằng 0 hoặc đạo hàm không tồn tại.

3. Lập bảng biến thiên của hàm số.

4. Từ bảng biến thiên suy ra các cực trị của hàm số.

Lời giải chi tiết

a) Tập xác định: \(D = \mathbb{R}\).

Ta có: \(y' = 3{x^2} - 6x + 3 = 3{\left( {x - 1} \right)^2},y' = 0 \Leftrightarrow x = 1\)

Lập bảng biến thiên của hàm số:

Hàm số \(y = {x^3} - 3{x^2} + 3x - 1\) đồng biến trên R.

Hàm số \(y = {x^3} - 3{x^2} + 3x - 1\) không có cực trị.

b) Tập xác định của hàm số là \(D = \mathbb{R}\).

Ta có: \(y' = 4{x^3} - 4x,y' = 0 \Leftrightarrow 4{x^3} - 4x = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = \pm 1\end{array} \right.\)

Bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên ta có:

Hàm số \(y = {x^4} - 2{x^2} - 1\) đồng biến trên khoảng \(\left( { - 1;0} \right)\) và \(\left( {1; + \infty } \right)\).

Hàm số \(y = {x^4} - 2{x^2} - 1\) nghịch biến trên khoảng \(\left( { - \infty ; - 1} \right)\) và \(\left( {0;1} \right)\).

Hàm số \(y = {x^4} - 2{x^2} - 1\) đạt cực đại tại \(x = 0\) và .

Hàm số \(y = {x^4} - 2{x^2} - 1\) đạt cực tiểu tại \(x = \pm 1\) và \({y_{CT}} = - 2\).

c) Tập xác định: \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ { - \frac{1}{3}} \right\}\).

Ta có: \(y' = \frac{{2\left( {3x + 1} \right) - 3\left( {2x - 1} \right)}}{{{{\left( {3x + 1} \right)}^2}}} = \frac{5}{{{{\left( {3x + 1} \right)}^2}}} > 0\;\forall x \ne \frac{{ - 1}}{3}\)

Lập bảng biến thiên của hàm số:

Từ bảng biến thiên ta có:

Hàm số \(y = \frac{{2x - 1}}{{3x + 1}}\) đồng biến trên \(\left( { - \infty ;\frac{{ - 1}}{3}} \right)\) và \(\left( {\frac{{ - 1}}{3}; + \infty } \right)\).

Hàm số không có cực trị.

d) Tập xác định: \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ { - 1} \right\}\).

Ta có: \(y' = \frac{{\left( {2x + 2} \right)\left( {x + 1} \right) - \left( {{x^2} + 2x + 2} \right)}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} = \frac{{{x^2} + 2x}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}\)

\(y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = - 2\end{array} \right.\) (thỏa mãn)

Lập bảng biến thiên của hàm số:

Từ bảng biến thiên ta có:

Hàm số \(y = \frac{{{x^2} + 2x + 2}}{{x + 1}}\) đồng biến trên khoảng \(\left( { - \infty ; - 2} \right)\) và \(\left( {0; + \infty } \right)\).

Hàm số \(y = \frac{{{x^2} + 2x + 2}}{{x + 1}}\) nghịch biến trên khoảng \(\left( { - 2; - 1} \right)\) và \(\left( { - 1;0} \right)\).

Hàm số \(y = \frac{{{x^2} + 2x + 2}}{{x + 1}}\) đạt cực đại tại \(x = - 2\) và \({y_{CĐ}} = -2\).

Hàm số \(y = \frac{{{x^2} + 2x + 2}}{{x + 1}}\) đạt cực tiểu tại \(x = 0\) và \({y_{CT}} = 2\).

Bình luận

Chia sẻ

Bình chọn:

4.9 trên 7 phiếu

Bài tiếp theo

Giải bài tập 1.41 trang 44 SGK Toán 12 tập 1 - Kết nối tri thức
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất (nếu có) của các hàm số sau: a) \(y = \frac{{2x + 1}}{{3x - 2}}\) trên nửa khoảng \(\left[ {2; + \infty } \right)\); b) \(y = \sqrt {2 - {x^2}} \);
Giải bài tập 1.42 trang 44 SGK Toán 12 tập 1 - Kết nối tri thức
Tìm các tiệm cận của mỗi đồ thị hàm số sau: a) \(y = \frac{{3x - 2}}{{x + 1}}\); b) \(y = \frac{{{x^2} + 2x - 1}}{{2x - 1}}\).
Giải bài tập 1.43 trang 44 SGK Toán 12 tập 1 - Kết nối tri thức
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số sau: a) (y = - {x^3} + 6{x^2} - 9x + 12); b) (y = frac{{2x - 1}}{{x + 1}}); c) (y = frac{{{x^2} - 2x}}{{x - 1}}).
Giải bài tập 1.44 trang 44 SGK Toán 12 tập 1 - Kết nối tri thức
Xét một thấu kính hội tụ có tiêu cự f (H.1.39). Khoảng cách p từ vật đến thấu kính liên hệ với khoảng cách q từ ảnh đến thấu kính bởi hệ thức: \(\frac{1}{p} + \frac{1}{q} = \frac{1}{f}\). a) Viết công thức tính \(q = g\left( p \right)\) như một hàm số của biến \(p \in \left( {f; + \infty } \right)\). b) Tính các giới hạn \(\mathop {\lim }\limits_{p \to + \infty } g\left( p \right),\mathop {\lim }\limits_{p \to {f^ + }} g\left( p \right)\) và giải thích ý nghĩa các kết quả này. Lập bảng bi
Giải bài tập 1.45 trang 44 SGK Toán 12 tập 1 - Kết nối tri thức
Dân số của một quốc gia sau t (năm) kể từ năm 2023 được ước tính bởi công thức: \(N\left( t \right) = 100{e^{0,012t}}\) (N(t) được tính bằng triệu người, \(0 \le t \le 50\)). a) Ước tính dân số của quốc gia này vào các năm 2030 và 2035 (kết quả tính bằng triệu người, làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ ba). b) Xem N(t) là hàm số của biến số t xác định trên đoạn [0; 50]. Xét chiều biến thiên của hàm số N(t) trên đoạn [0; 50]. c) Đạo hàm của hàm số N(t) biểu thị tốc độ tăng dân số của quố
Giải bài tập 1.46 trang 44 SGK Toán 12 tập 1 - Kết nối tri thức
Một đường dây điện được nối từ một nhà máy điện ở A đến một hòn đảo ở C như Hình 1.40. Khoảng cách từ C đến B là 4km. Bờ biển chạy thẳng từ A đến B với khoảng cách là 10km. Tổng chi phí lắp đặt cho 1km dây điện trên biển là 50 triệu đồng, còn trên đất liền là 30 triệu đồng. Xác định vị trí điểm M trên đoạn AB (điểm nối dây từ đất liền ra đảo) để tổng chi phí lắp đặt là nhỏ nhất.
Giải bài tập 1.39 trang 43 SGK Toán 12 tập 1 - Kết nối tri thức
Đồ thị trong Hình 1.38 là đồ thị của hàm số: A. \(y = x - \frac{1}{{x + 1}}\). B. \(y = \frac{{2x + 1}}{{x + 1}}\). C. \(y = \frac{{{x^2} - x + 1}}{{x + 1}}\). D. \(y = \frac{{{x^2} + x + 1}}{{x + 1}}\).
Giải bài tập 1.38 trang 43 SGK Toán 12 tập 1 - Kết nối tri thức
Đồ thị trong Hình 1.37 là đồ thị của hàm số: A. \(y = \frac{{x + 2}}{{x + 1}}\). B. \(y = \frac{{2x + 1}}{{x + 1}}\). C. \(y = \frac{{x - 1}}{{x + 1}}\). D. \(y = \frac{{x + 3}}{{1 - x}}\).
Giải bài tập 1.37 trang 43 SGK Toán 12 tập 1 - Kết nối tri thức
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) xác định trên \[\mathbb{R}\backslash \left\{ {1;3} \right\}\], liên tục trên mỗi khoảng xác định và có bảng biến thiên như sau: Khẳng định nào sau đây là sai? A. Đường thẳng \(y = 1\) là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đã cho. B. Đường thẳng \(y = - 1\) là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đã cho. C. Đường thẳng \(x = 3\) là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho. D. Đường thẳng \(x = 1\) là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho.
Giải bài tập 1.36 trang 42 SGK Toán 12 tập 1 - Kết nối tri thức
Tiệm cận xiên của đồ thị hàm số \(y = \frac{{{x^2} + 2x - 2}}{{x + 2}}\) là A. \(y = - 2\). B. \(y = 1\). C. \(y = x + 2\). D. \(y = x\).
Giải bài tập 1.35 trang 42 SGK Toán 12 tập 1 - Kết nối tri thức
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) thỏa mãn: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} f\left( x \right) = 1;\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} f\left( x \right) = 1;\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } f\left( x \right) = 2\) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left( x \right) = 2\). Khẳng định nào sau đây là đúng? A. Đường thẳng \(x = 2\) là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số. B. Đường thẳng \(y = 2\) là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số. C. Đường thẳng \(y = 1\) là tiệm
Giải bài tập 1.34 trang 42 SGK Toán 12 tập 1 - Kết nối tri thức
Giá trị lớn nhất của hàm số \(y = {\left( {x - 2} \right)^2}.{e^x}\) trên đoạn [1; 3] là: A. 0. B. \({e^3}\). C. \({e^4}\). D. e.
Giải bài tập 1.33 trang 42 SGK Toán 12 tập 1 - Kết nối tri thức
Giá trị cực tiểu của hàm số (y = {x^2}ln x) là A. (frac{1}{e}). B. ( - frac{1}{e}). C. ( - frac{1}{{2e}}). D. (frac{1}{{2e}}).
Giải bài tập 1.32 trang 42 SGK Toán 12 tập 1 - Kết nối tri thức
Hàm số nào dưới đây không có cực trị? A. (y = left| x right|). B. (y = {x^4}). C. (y = - {x^3} + x). D. (y = frac{{2x - 1}}{{x + 1}}).
Giải bài tập 1.31 trang 42 SGK Toán 12 tập 1 - Kết nối tri thức
Hàm số nào sau đây nghịch biến trên (mathbb{R})? A. (y = - {x^3} + 3{x^2} - 9x); B. (y = - {x^3} + x + 1); C. (y = frac{{x - 1}}{{x - 2}}); D. (y = 2{x^2} + 3x + 2).
Giải bài tập 1.30 trang 42 SGK Toán 12 tập 1 - Kết nối tri thức
Cho hàm số (y = fleft( x right)) có đạo hàm trên khoảng (a; b). Phát biểu nào dưới đây là đúng? A. Nếu (f'left( x right) ge 0) với mọi x thuộc (a; b) thì hàm số (y = fleft( x right)) đồng biến trên (a; b). B. Nếu (f'left( x right) > 0) với mọi x thuộc (a; b) thì hàm số (y = fleft( x right)) đồng biến trên (a; b). C. Hàm số (y = fleft( x right)) đồng biến trên (a; b) khi và chỉ khi (f'left( x right) ge 0) với mọi x thuộc (a; b). D. Hàm số (y = fleft( x right)