Giải bài 43 trang 83 sách bài tập toán 11 - Cánh diều


Cho tam giác \({T_1}\) có diện tích bằng 1. Giả sử có tam giác \({T_2}\) đồng dạng với tam giác \({T_1}\)

Tổng hợp đề thi giữa kì 1 lớp 11 tất cả các môn - Cánh diều

Toán - Văn - Anh - Lí - Hóa - Sinh

Đề bài

Cho tam giác \({T_1}\) có diện tích bằng 1. Giả sử có tam giác \({T_2}\) đồng dạng với tam giác \({T_1}\), tam giác \({T_3}\) đồng dạng với tam giác \({T_2}\), …, tam giác \({T_n}\) đồng dạng với tam giác \({T_{n - 1}}\) với tỉ số đồng dạng \(\frac{1}{k}{\rm{ }}\left( {k > 1} \right)\). Khi \(n\) tiến tới vô cùng, tính tổng diện tích của tất cả các tam giác theo \(k\).

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Hai tam giác đồng dạng với tỉ số đồng dạng \(\frac{1}{k}\) thì tỉ số diện tích của hai tam giác đó là \(\frac{1}{{{k^2}}}\).

Do \(\frac{1}{{{k^2}}} < 1\), nên ta thấy dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) với \({u_n}\) là diện tích tam giác \({T_n}\) là cấp số nhân. Khi \(n\) tiến tới vô cùng, thì tổng diện tích các tam giác đó là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn.

Lời giải chi tiết

Xét dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) với \({u_n}\) là diện tích tam giác \({T_n}\).

Nhận xét rằng hai tam giác đồng dạng với tỉ số đồng dạng \(\frac{1}{k}\) thì tỉ số diện tích của hai tam giác đó là \(\frac{1}{{{k^2}}}\). Có nghĩa là, tam giác \({T_n}\) đồng dạng với tam giác \({T_{n - 1}}\) theo tỉ số \(\frac{1}{k}\) thì tỉ số diện tích tam giác \({T_n}\) với tam giác \({T_{n - 1}}\) là \(\frac{{{u_n}}}{{{u_{n - 1}}}} = \frac{1}{{{k^2}}}\).

Suy ra \(\left( {{u_n}} \right)\) là cấp số nhân với \({u_1} = 1\) và \(q = \frac{1}{{{k^2}}}\).

Khi \(n\) tiến tới vô cùng, thì tổng diện tích các tam giác đó là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn. Tổng này có giá trị là \(S = \frac{{u{\rm{\_1}}}}{{1 - q}} = \frac{1}{{1 - \frac{1}{{{k^2}}}}} = \frac{1}{{\frac{{{k^2} - 1}}{{{k^2}}}}} = \frac{{{k^2}}}{{{k^2} - 1}}\).


Bình chọn:
4.9 trên 7 phiếu

>> Xem thêm

Luyện Bài Tập Trắc nghiệm Toán 11 - Cánh diều - Xem ngay

Tham Gia Group Dành Cho 2K8 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí