Giải bài 4 trang 14 Chuyên đề học tập Toán 11 Chân trời sáng tạo

Cho hai điểm B, C cố định trên đường tròn \(\left( {O;{\rm{ }}R} \right)\) và một điểm A thay đổi trên đường tròn đó

Đề bài

Cho hai điểm B, C cố định trên đường tròn \(\left( {O;{\rm{ }}R} \right)\) và một điểm A thay đổi trên đường tròn đó. Chứng minh trực tâm H của tam giác ABC luôn nằm trên một đường tròn cố định.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Ta đi chứng minh trực tâm H của tam giác ABC luôn nằm trên ảnh của đường tròn \(\left( {O;{\rm{ }}R} \right)\) qua phép tịnh tiến theo \(\overrightarrow {B'C} \)

Lời giải chi tiết

Kẻ đường kính BB’.

Do B, C cố định trên (O) nên B’, C cũng cố định trên (O).

Suy ra \(\overrightarrow {B'C} \) là vectơ không đổi.

Ta có \(\widehat {BCB'} = 90^\circ \) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn (O)).

Suy ra \(BC \bot B'C.\)

Mà \(AH \bot BC\) (do H là trực tâm của ∆ABC).

Do đó \(AH//B'C\,\,\left( 1 \right)\)

Chứng minh tương tự, ta được \(AB'//CH{\rm{ }}\left( 2 \right)\)

Từ (1), (2), suy ra tứ giác AHCB’ là hình bình hành.

Suy ra \(AH{\rm{ }} = {\rm{ }}B'C.\)

Mà \(AH{\rm{ }}//{\rm{ }}B'C\) (chứng minh trên).

Vì vậy \(\overrightarrow {AH} = \overrightarrow {B'C} \)

Do đó \(H = {T_{\overrightarrow {B'C} }}\left( A \right)\).

Vậy khi A thay đổi trên đường tròn (O) thì trực tâm H của tam giác ABC luôn nằm trên ảnh của đường tròn (O) là đường tròn (O’) qua \({{\rm{T}}_{\overrightarrow {B'C} }}\).

Bình luận

Chia sẻ

Bình chọn:

3.7 trên 7 phiếu

Bài tiếp theo

Giải bài 5 trang 14 Chuyên đề học tập Toán 11 Chân trời sáng tạo
Trong Hình 9, tìm các vectơ \(\vec u\) và \(\vec v\) sao cho phép tịnh tiến \({T_{\vec u}}\)biến hình mũi tên (A) thành hình mũi tên (B) và phép tịnh tiến \({T_{\vec v}}\) biến hình mũi tên (A) thành hình mũi tên (C).
Giải bài 3 trang 14 Chuyên đề học tập Toán 11 Chân trời sáng tạo
Cho phép tịnh tiến \({T_{\vec u}}\) trong đó \(\vec u = \left( {3;5} \right)\)
Giải bài 2 trang 14 Chuyên đề học tập Toán 11 Chân trời sáng tạo
Cho đường tròn (O) và hai điểm A, B. Khi điểm M thay đổi trên đường tròn (O) thì điểm M’ thay đổi trên đường nào để \(\overrightarrow {MM'} + \overrightarrow {MA} = \overrightarrow {MB} \)?
Giải bài 1 trang 14 Chuyên đề học tập Toán 11 Chân trời sáng tạo
Cho phép tịnh tiến \({T_{\vec v}}\) và phép tịnh tiến \({T_{\vec v}}\).
Giải mục 2 trang 12, 13 Chuyên đề học tập Toán 11 - Chân trời sáng tạo
Cho vectơ \(\overrightarrow u \) và đường thẳng d. A và M là hai điểm bất kì trên d. Gọi A’ và M’ lần lượt là ảnh của A và M qua phép tịnh tiến \({{\rm{T}}_{{\rm{\vec u}}}}\).
Giải mục 1 trang 11 Chuyên đề học tập Toán 11 - Chân trời sáng tạo
Quan sát các điểm được vẽ trên mặt phẳng tọa độ (Hình 1).
Giải khởi động trang 10 Chuyên đề học tập Toán 11 - Chân trời sáng tạo
Phép dời hình nào có thể biến hình ngôi sao A thành hình ngôi sao B?