Phương pháp giải:

+) Đặt \(y = g\left( x \right) = 3f\left( x \right) - {x^2}\), lập BBT của đồ thị hàm số \(y = g\left( x \right)\).

+) Từ đồ thị hàm số \(y = g\left( x \right)\) suy ra đồ thị hàm số \(y = \left| {g\left( x \right)} \right|\) và kết luận các khoảng đơn điệu của hàm số

Lời giải chi tiết:

Xét hàm số \(y = g\left( x \right) = 3f\left( x \right) - {x^3}\) ta có \(g'\left( x \right) = 3f'\left( x \right) - 3{x^2} = 0 \Leftrightarrow f'\left( x \right) = {x^2}\,\,\left( * \right)\).

Vẽ đồ thị hàm số \(y = {x^2}\) trên cùng mặt phẳng tọa độ với đồ thị hàm số \(y = f'\left( x \right)\) ta được:

Số nghiệm của phương trình (*) là số giao điểm của đồ thị hàm số \(y = f'\left( x \right)\) và đồ thị hàm số \(y = {x^2}\).

Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy \(\left( * \right) \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 1\\x = 2\end{array} \right.\).

BBT:

Do \(f\left( 0 \right) = 0 \Rightarrow g\left( 0 \right) = 3f\left( 0 \right) - {0^2} = 0\).

Từ đó ta suy ra BBT của đồ thị hàm số \(y = \left| {g\left( x \right)} \right|\) như sau:

Dựa vào BBT ta thấy hàm số \(y = \left| {g\left( x \right)} \right|\) đồng biến trên \(\left( {0;2} \right)\) và \(\left( {{x_0}; + \infty } \right)\) với \({x_0} > 2\).

Chọn C.