Phương pháp giải:

Điểm \(x = {x_0}\) là cực trị của hàm số \(y = f\left( x \right) \Leftrightarrow {x_0}\)  là nghiệm bội lẻ của phương trình \(f'\left( x \right) = 0.\)

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(g'\left( x \right) = f'\left( x \right) - 1 \Rightarrow g'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow f'\left( x \right) = 1 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x =  - 1\\x = {x_0} > 1\end{array} \right.\)

Ta có bảng xét dấu:

Dựa vào BBT ta thấy tại điểm \(x =  - 1\) thì \(g'\left( x \right)\) không đổi dấu \( \Rightarrow x =  - 1\) không là điểm cực trị của hàm số.

Vậy hàm số \(y = g\left( x \right) = f\left( x \right) - x\) có một điểm cực trị.

Chọn D.