Phương pháp giải:

+) Xác định thiết diện thu được là Parabol

+) Tính diện tích parabol có chiều cao \(h\) và bán kính \(R\) là \(S = \dfrac{4}{3}Rh\)

+) Sử dụng bất đẳng thức Cô-si để tìm giá trị lớn nhất của \(S.\)

+) Cho 4 số \(a;b;c;d\) không âm thì \(\dfrac{{a + b + c + d}}{4} \ge \sqrt[4]{{abcd}}\). Dấu = xảy ra khi \(a = b = c = d\).

Lời giải chi tiết:

Khi cắt hình nón bởi mặt phẳng song song với đường sinh của hình nón thì ta được thiết diện là một parabol.

Giả sử thiết diện như hình vẽ.

Khi đó ta luôn có \(AB \bot MH\).

Kẻ \(HE//SA\) trong mặt phẳng \(\left( {SAB} \right)\)

Khi đó \(SA//\left( {HME} \right)\)

Đặt \(BH = x\left( {0 < x < 24} \right)\) , ta có \(SA = \sqrt {S{O^2} + O{A^2}}  = \sqrt {{{16}^2} + {{12}^2}}  = 20\,cm\)

Xét tam giác \(AMB\) vuông tại \(M\) có \(M{H^2} = AH.BH = x\left( {24 - x} \right) \Rightarrow MH = \sqrt {x\left( {24 - x} \right)} \) (hệ thức lượng trong tam giác vuông).

Xét tam giác \(SAB\) có \(HE//SA \Rightarrow \dfrac{{BH}}{{AB}} = \dfrac{{HE}}{{SA}} \Leftrightarrow HE = \dfrac{{x.20}}{{24}} = \dfrac{5}{6}x\)

Thiết diện parabol có chiều cao \(HE = \dfrac{5}{6}x\) và bán kính \(r = MH = x\left( {24 - x} \right)\)

Diện tích thiết diện là \(S = \dfrac{4}{3}HE.MH = \dfrac{4}{3}.\dfrac{5}{6}x.\sqrt {x\left( {24 - x} \right)}  = \dfrac{{10}}{9}\sqrt {x.x.x\left( {24 - x} \right)} \)

\( = \dfrac{{10}}{{9\sqrt 3 }}\sqrt {x.x.x\left( {72 - 3x} \right)} \mathop  \le \limits^{C\^o  - si} \dfrac{{10}}{{9\sqrt 3 }}.\sqrt {{{\left( {\dfrac{{x + x + x + 72 - 3x}}{4}} \right)}^4}}  \approx 207,8c{m^2}\)

Dấu = xảy ra khi \(x = 72 - 3x \Leftrightarrow x = 18\,\,\left( {tm} \right)\)

Vậy diện tích lớn nhất của thiết diện là \(S \approx 207,8c{m^2}.\)

Chọn D.