Phương pháp giải:

Sử dụng đạo hàm \({\left( {f\left( x \right).f'\left( x \right)} \right)^\prime } = {\left( {f'\left( x \right)} \right)^2} + f\left( x \right).f''\left( x \right)\).

- Lấy nguyên hàm hai vế liên tiếp 2 lần tìm \(f\left( x \right)\) và kết luận.

Lời giải chi tiết:

Ta có \({\left( {f\left( x \right).f'\left( x \right)} \right)^\prime } = f'\left( x \right).f'\left( x \right) + f\left( x \right).{\left( {f'\left( x \right)} \right)^\prime } = {\left( {f'\left( x \right)} \right)^2} + f\left( x \right).f''\left( x \right)\)

Nên \({\left( {f'\left( x \right)} \right)^2} + f\left( x \right).f''\left( x \right) = 15{x^4} + 12x \Leftrightarrow {\left( {f'\left( x \right).f\left( x \right)} \right)^\prime } = 15{x^4} + 12x\)

Lấy nguyên hàm hai vế ta có :

\(\int {\left( {f'\left( x \right).f\left( x \right)} \right)'dx}  = \int {\left( {15{x^4} + 12x} \right)dx}  \Leftrightarrow f'\left( x \right).f\left( x \right) = 3{x^5} + 6{x^2} + C\)

Thay \(x = 0\) vào ta được \(f'\left( 0 \right).f\left( 0 \right) = C \Leftrightarrow C = 1 \Rightarrow f\left( x \right).f'\left( x \right) = 3{x^5} + 6{x^2} + 1\)

Lấy nguyên hàm hai vế ta được \(\int {f\left( x \right).f'\left( x \right)dx}  = \int {\left( {3{x^5} + 6{x^2} + 1} \right)dx} \)

\( \Leftrightarrow \int {f\left( x \right)d\left( {f\left( x \right)} \right)}  = \dfrac{{{x^6}}}{2} + 2{x^3} + x + {C_1} \Leftrightarrow \dfrac{{{{\left( {f\left( x \right)} \right)}^2}}}{2} = \dfrac{{{x^6}}}{2} + 2{x^3} + x + {C_1}\)

\( \Leftrightarrow {\left( {f\left( x \right)} \right)^2} = {x^6} + 4{x^3} + 2x + 2{C_1}\)

Lại có \(f\left( 0 \right) = 1 \Rightarrow 2{C_1} = 1 \Rightarrow {\left( {f\left( x \right)} \right)^2} = {x^6} + 4{x^3} + 2x + 1\)

Suy ra \({\left( {f\left( 1 \right)} \right)^2} = 8.\)

Chọn B.