Phương pháp giải:

+) Giải phương trình hoành độ giao điểm, tìm điều kiện để phương trình hoành độ giao điểm có 3 nghiệm phân biệt.

+) Gọi \({x_1},\,\,{x_2}\) là hoành độ của các điểm \(B,\,\,C\). Để tiếp tuyến của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) tại \(B,\,\,C\) vuông góc với nhau \(f'\left( {{x_1}} \right)f'\left( {{x_2}} \right) =  - 1\). Áp dụng định lí Vi-ét tìm \(m\).

Lời giải chi tiết:

Xét phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị hàm số:

\({x^3} + 3{x^2} + mx + 1 = 1 \Leftrightarrow x\left( {{x^2} + 3x + m} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\g\left( x \right) = {x^2} + 3x + m = 0\,\,\left( * \right)\end{array} \right.\)

Để đồ thị  hàm số \(y = f\left( x \right)\) cắt đường thẳng \(y = 1\) tại ba điểm phân biệt \( \Rightarrow \) Phương trình (*) có 2 nghiệm phân biệt khác 0 \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta  > 0\\g\left( 0 \right) \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{3^2} - 4m > 0\\m \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m < \dfrac{9}{4}\\m \ne 0\end{array} \right.\).

Gọi \({x_1},\,\,{x_2}\) là 2 nghiệm phân biệt của \(\left( * \right)\). Theo định lí Vi-ét ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} =  - 3\\{x_1}{x_2} = m\end{array} \right.\).

Khi đó ta có tọa độ các giao điểm của đồ thị  hàm số \(y = f\left( x \right)\) và đường thẳng \(y = 1\) là \(A\left( {0;1} \right),\,\,B\left( {{x_1};1} \right),\,\,C\left( {{x_2};1} \right)\).

Ta có \(f'\left( x \right) = 3{x^2} + 6x + m\).

\( \Rightarrow \) Hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số\(y = f\left( x \right)\) tại \(B,C\) lần lượt là \(\left\{ \begin{array}{l}{k_1} = 3x_1^2 + 6{x_1} + m\\{k_2} = 3x_2^2 + 6{x_2} + m\end{array} \right.\).

Để tiếp tuyến của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) tại \(B,\,\,C\) vuông góc với nhau thì \({k_1}{k_2} =  - 1\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left( {3x_1^2 + 6{x_1} + m} \right)\left( {3x_2^2 + 6{x_2} + m} \right) =  - 1\\ \Leftrightarrow 9{\left( {{x_1}{x_2}} \right)^2} + 18x_1^2{x_2} + 3mx_1^2 + 18{x_1}x_2^2 + 36{x_1}{x_2} + 6m{x_1} + 3mx_2^2 + 6m{x_2} + {m^2} + 1 = 0\\ \Leftrightarrow 9{\left( {{x_1}{x_2}} \right)^2} + 18{x_1}{x_2}\left( {{x_1} + {x_2}} \right) + 3m\left( {x_1^2 + x_2^2} \right) + 36{x_1}{x_2} + 6m\left( {{x_1} + {x_2}} \right) + {m^2} + 1 = 0\\ \Leftrightarrow 9{m^2} + 18m\left( { - 3} \right) + 3m\left( {9 - 2m} \right) + 36m + 6m\left( { - 3} \right) + {m^2} + 1 = 0\\ \Leftrightarrow 9{m^2} - 54m + 27m - 6{m^2} + 36m - 18m + {m^2} + 1 = 0\\ \Leftrightarrow 4{m^2} - 9m + 1 = 0 \Leftrightarrow m = \dfrac{{9 \pm \sqrt {65} }}{8}\,\,\left( {tm} \right) \Rightarrow S = \left\{ {\dfrac{{9 \pm \sqrt {65} }}{8}} \right\}\end{array}\)

Vậy tổng các phần tử của tập hợp \(S\) bằng \(\dfrac{9}{4}\).

Chọn C.