Phương pháp giải:

Hàm số \(y = \dfrac{{f\left( x \right)}}{{g\left( x \right)}}\)  đồng biến trên \(\left( {a;\;b} \right) \Leftrightarrow y' > 0\;\;\forall x \in \left( {a;\;b} \right).\)

Lời giải chi tiết:

Điều kiện: \(x \ne  - 3m.\)

Ta có: \(y' = \dfrac{{3m - 2}}{{{{\left( {x + 3m} \right)}^2}}}\)

Hàm số đồng biến trên \(\left( { - \infty ; - 6} \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y' > 0\,\,\forall x \in \left( { - \infty ; - 6} \right)\\ - 3m \notin \left( { - \infty ; - 6} \right)\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3m - 2 > 0\\ - 3m \ge  - 6\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m > \dfrac{2}{3}\\m \le 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \dfrac{2}{3} < m \le 2\)

Kết hợp điều kiện \(m \in \mathbb{Z} \Rightarrow m \in \left\{ {1;\,2} \right\}.\)

Chọn D.