Phương pháp giải:

Sử dụng công thức khai triển của nhị thức: \({\left( {a + b} \right)^n} = \sum\limits_{k = 0}^n {C_n^k{a^{n - k}}{b^k}.} \)

Lời giải chi tiết:

Ta có: \({\left( {x + 1} \right)^{2019}} = \sum\limits_{k = 0}^{2019} {C_{2019}^k.{x^k}}  \Rightarrow \sum\limits_{k = 1}^{2019} {C_{2019}^k.{x^k} = \sum\limits_{k = 0}^{2019} {C_{2019}^k.{x^k}}  - C_{2019}^0{x^0} = \sum\limits_{k = 0}^{2019} {C_{2019}^k.{x^k}}  - 1 = {{\left( {x + 1} \right)}^{2019}} - 1.} \)

Xét với \(x = 9\) ta có: \(\sum\limits_{k = 1}^{2019} {C_{2019}^k{{.9}^k} = {{\left( {x + 1} \right)}^{2019}} - 1 = {{10}^{2019}} - 1.} \)

Chọn C.